数式{An}、{Bn}の一般項

質問

(2＋√3)^n＝An＋Bn√3により定められた数列
正の整数ｎに対して、正の整数An、Anを(2＋√3)^n＝An＋Bn√3と定めます。
数式{An}、{Bn}の一般項を求めよ。
という問題が出たんですが。
(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3
(2-√3)^n=a[n]-b[n]√3
としてやっていたいいと思うのんですがやり方がわ忘れてしまってできないんです。
誰か教えていただけないでしょうか？
よろしくお願いします。

回答No.2

rnakamra · ベストアンサー

(2+√3)^n=a[n]+b[n]√3
のとき
(2-√3)^n=a[n]-b[n]√3
が成り立つことを証明しないといけません。2項定理で展開した式を示して√3の次数が偶数か奇数かで分けてみればよいでしょう。

上の2式が得られれば(上式)+(下式)をしたものを両辺2で割ればa[n]が、(上式)-(下式)したものを2√3で割ればb[n]の式が得られるでしょう。

上から2番目の式を証明しないでa[n],b[n]の表式を得たうえで数学的帰納法で証明する方法もあります。

お礼

ありがとうございました。
わかりました。

回答No.1

alice_44

いや… 2-√3 など持ち出さなくても、
普通に、A[n+1]+B[n+1]√3 = (A[n]+B[n]√3)(2+√3) を
(整数) = (整数)√3 と変形すればいいでしょう。

お礼

ありがとうございました