数列 共通項

質問

次の2つの数列の共通項の個数とその和を求めよ。

数列: 1, 4, 7, 10・・・・・100　（anとする）
数列: 5, 10, 15, 20・・・100　（bnとする）

一般項an=3n-2
一般項bn=5n
am=bn
3m-2=5n

3m-2=5n
3(m+1)=5(n+1)
3,5共に素数より、m+1=5k （kは自然数）
m=5k-1
am=a5k-1=3(5k-1)-2=15k-5　・・・共通項の数列

※個数と数列の和はわかるので省きます。

(m+1),(n+1)と置く理由、kと置いてmに代入する理由がわかりません。

回答No.3

ereserve67

こういう質問は多いのです．まず，割り算の原理：『整数aを正の整数bで割ったときの商qと余りr=0,1,・・,b-1について

a=bq+r

が成り立つ』

を確認しましょう．

>一般項an=3n-2
>一般項bn=5n
>am=bn
>3m-2=5n

の最後の式は整数mと整数nの関係を表します．一方が決まると他方が決まりますね．その関係は関数として例えば

（☆）n=(3m-2)/5

とかけます．ところがm,nは整数と言う条件がm,nの値をもっと限定します．まず，nが整数であるためには分子3m-2が5で割り切れないといけません．まず分子の定数項を5で割ると-2=5q+rとなる整数qとr(0≦r<5)となる(q,r)が唯一組きまりそれは

-2=5(-1)+3

から(q,r)=(-1,3)となります．上の式を分子に代入すると

3m-2=3m+5(-1)+3=3(m+1)+5(-1)

よってこれが5で割り切れるためには3(m+1)が5で割り切ればよいということになり，3は5でわりきれないからm+1が5で割り切れます．その商をkとすると

m+1=5k (m=5k-1)

とかけます．なお☆から

n={3(5k-1)-2}/5=(15k-5)/5=3k-1 (n+1=3k)

から

3(m+1)=5(n+1)(=15k)

が成り立ちます．

しかし，いちいちこういう議論をするのが面倒だから，

>3m-2=5n

の両辺に5を足して

>3(m+1)=5(n+1)

とするわけです．「5を足して」のようなことは経験を積めばできるようになります．そして，

>3,5共に素数より、m+1=5k （kは自然数）
>m=5k-1

これは3(m+1)が5(整数)だから3またはm+1が5の倍数ということになりますが3は5の倍数でないのでm+1が5の倍数になります．

回答No.2

alice_44

3m-2=5n という式は、(m,n)=(-1,-1) を代入すると、
たまたま成立します。m や n は自然数だろうって？
いやいや、単に 3(-1)-2=5(-1) が成立していることを
見つければよいのです。これを、ヤマカンで見つけます。

3m-2=5n と 3(-1)-2=5(-1) の辺々を引き算すると、
-2 の項が消えて、3(m+1)=5(n+1) と変形できます。
この形の式が欲しかったので、(m,n)=(-1,-1) を
探したのです。

3 と 5 が互いに素であることから、
m+1 は 5 の倍数であり、n+1 は 3 の倍数であり、
しかも m+1=5k, n+1=3h を 3(m+1)=5(n+1) へ代入
すると、k=h であることが判ります。
以上をまとめると、m+1=5k, n+1=3k となります。

これを a[m]=3m-2, b[n]=5n へ代入すると、
a[m]=b[n]=15k-5 が成立する訳です。

回答No.1

f272

> (m+1),(n+1)と置く理由

???
am=bnから3(m+1)=5(n+1)が導かれたのであって，何かを(m+1),(n+1)と置いたわけではない。

> kと置いてmに代入する

m+1が5の倍数であることからm+1=5kとおいたのであって，kと置いているわけではないし，ましてやmに代入していることもない。mに代入しているのはm=5k-1です。