数学 大学

質問

次のことを証明して下さい。

（1）lim（n→∞）n＾1/n＝1

（2）lim（n→∞）xn＝∞の時lim（n→∞）1 /nΣ［k＝1→n］xk＝∞

（3）an＝1＋1/2＋1/3＋・・・＋1/nーlognとおくとき、c＝lim（n→∞）anの存在すること。
宜しくお願いします。

回答No.6

kabaokaba · ベストアンサー

>M→∞になるから上式が成り立つt思うんですが、Mは固定しているのになぜ→∞とできるのでしょうか？

だれもそんなこといってない．
あくまでもMは任意の正の数で固定．

ただし「任意」というのが重要
どんな大きな値をとっても，かならず >M とできるということは
無限大に発散するということ．

けっして，「Mを固定してからMを動かす」ではなく
何でもいいMを固定して，>M を示して
Mが何でもいいなら，もっと大きな数をMとして取り直して
また >M を示して・・・という論法だということ．
これはεδでの定石．

回答No.5

B-juggler

σ(・・*)は何番目だ？　一人目かな？

えっと、十分条件？

数列かどうか分からないから、とりあえずこういう例でどうかな？

と書いたつもりでしかないけれど、

ａ（ｎ）＝ｎ　初項１　公差１の等差数列　について

Ｌｉｍ（ｎ→∞）ａ（ｎ）＝∞　証明する必要ある？

いくらなんでも、これじゃ手を差し伸べたくなくなるよ。

電気電子だって本人が言われているから、専門外だってことで

かろうじてやってるだけ。

「より簡単な道はないですか？」

それは、自分で探して！　ってなるよ。

そもそもここに丸投げして回答をしてもらっているのは

「かなり簡単な道」なんだよ？

欲を出す　とか言うレベルじゃない。これじゃ宿題丸投げしている高校生と一緒。

σ(・・*)も一回　解析は落ちた＾＾；

落ちな。その方がいい。次は自分でしっかりやるだろう。

　＃回転体の体積なんかで落ちたよ。追試だ＞＜

テスト受かればいいって物じゃないから。

やっぱり問題がよく分からん！

ちゃんと書き直して？

補足で出来るでしょう？

だからって答えるかどうかは、知らんけど。

自分で山は登るもの。エスカレータなんてついてないぞ～～。

(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

　両先生、暴言失礼いたしました。ｍ（＿　＿）ｍ

補足

σ(・・*)さん、失礼しました。
いつも回答ありがとうございます。

何か一つでも数列xnが証明できればいいんですね。
ありがとうございます。

回答No.4

kabaokaba

＞Mを固定してるのになぜこうできるのかがわかりません。

だめだったら，うまくいくように，取り直すだけ．
べつに 1/2 である必要はないのはわかる？

1-(m/n)ってのは1より小さい正の数だから
ぶちゃけ，それよりも1ちょっと小さい値aが存在して
>aM
となるというだけ

>因みにもっと簡単な方法はありませんか?

じゃ，自分でそれは考えな．
方法はきっといくらでもあるでしょ．

補足

失礼しました。

＞(1-(m/n)) M > M/2 とできる

よって(1/n)Σxk->∞

M→∞になるから上式が成り立つt思うんですが、Mは固定しているのになぜ→∞とできるのでしょうか？

回答No.3

alice_44

(1)

(n＾1)/n じゃなくて、
n^(1/n) のつもりなんだろね。

lim n^(1/n) = e^( lim (log n)/n ) と変形する。
それで納得できなければ、
x = log n で変数変換した後、
e^x の冪級数展開を適当なところで打ち切って
下から評価すればオシマイ。

回答No.2

kabaokaba

(1) これは自明です

(2) xn->∞ということをεδでどう書くか

任意の定数M>0に対して，ある整数m>0が存在して
n>mならば xn>M

これを満たすMとmを固定する

n>mとする
mを十分大きくとることで，
x1+・・・+xm>A>0 とすることができる．
なぜなら，{xn}は∞に発散するので，マイナスとなる項は有限個しか存在しないから

さらに
xm+1+ ・・・+ xn > (n-m)M

よって，(1/n)Σxk > (1/n)(A+(n-m)M) > (1-(m/n)) M

ここで，nを十分大きくとることで（これはmを十分大きくすればいい）
(1-(m/n)) M > M/2 とできる

よって(1/n)Σxk->∞

(3)「オイラーの定数」というものを調べましょう
けど・・証明そのものはきわめて容易なんだけど
積分使うんだよねー．
けど，logを問題自体で使ってるから，
何でもつかっていいということにしよう

an+1 - an = 1/(n+1) -log(n+1)+log(n)
=1/(n+1) - ∫_n^{n+1} (1/x)dx

(1/x)が単調減少だから an+1 < an つまり単調減少
＃厳密にやるんなら積分の平均値の定理を使えばいいけど
＃面積から自明でいいんじゃないかい

それから，同様に
log(n) = ∫1^n (1/x)dx
=Σ_{k=1}^n ∫k^{k+1}(1/x)dx
を考えれば

an = Σ((1/k)-∫_k^{k+1}(1/x)dx > 0

＃Σの各項でグラフを描いて面積を考える．上の単調減少の証明とは
＃比較するパーツが異なることに注意．厳密には積分の平均値の定理を使えばいい

ってことで
下に有界，単調減少だから極限が存在

まあ，どうせレポートかなんかなんだろうけど・・・

(1)(2)(3)の難易度とか問題の内容とかが
見事にばらばらだなー
レポートなら教官の意図が丸分かりー

補足

＞(1-(m/n)) M > M/2 とできる

よって(1/n)Σxk->∞
回答ありがとうございます。
Mを固定してるのになぜこうできるのかがわかりません。

因みにもっと簡単な方法はありませんか?

回答No.1

B-juggler

う～ん、もう少し　きれいに分かりやすく書いてくれませんか？

（１）はいいんだけど。

これは、Ｌｉｍ（ｎ→∞）　ｎ／ｎ　＝１

∞／∞　だけど、何も考えずに

Ｌｉｍ　のなかで　（ｎ／ｎ）＝１　としてしまえば、

無限に飛んでいくものがないので、　＝１　ですね。

問題に書き間違いがないか確認してください。

（２）が問題、これ数列かな？　数列なら、発散するような数列を考えてみて、

実際に入れてみる。

ｘ（ｎ）＝ｎ　（公差１　初項１の等差数列とか？）

Σ「ｋ＝１→ｎ」ｘ（ｋ）＝（１／２）ｎ（ｎ＋１）　でしょう？

これだと、ｎで割っても（多分平均を取る？）　（ｎ＋１）が残りますね。

（３）は　マクローリン展開やテイラー展開の逆かな？

この辺はっきりとは分からないけど（ゴメン本職じゃない）、

発散しない、どこかへ収束しますよなんだろうけど、

ａｎ　は　これで正しい？　どこまでが分母か分からないけど。

変な式に見えるんだけど。

本職さん、お願いします。(=^. .^=)　ｍ（＿　＿）ｍ　(=^. .^=)

補足

（2）って十分条件証明されてないですよね？