数列・極限と積分・・・？

質問

lim[n→∞]Σ[k=1～n]1/k
がlognになることを証明する問題が分かりません。
誰か教えてくれるとありがたいです。

回答No.6

kabaokaba · ベストアンサー

No.3です
>a_n、b_n＞０、a_n～b_nとはa_n/b_n→１とする。（n→∞）

質問とはまったく意味合いが違いますね．
先生は間違ってなくて間違っているのはyoshiai23さんです．
先生のいってるのは
>lim[n→∞]Σ[k=1～n]1/kがlog(n)になること
でなくて
lim[n→∞](Σ[k=1～n]1/k)/log(n) = 1 であることです．
これの証明は区分求積を使えばすぐです．

ちなみに，こういう不等式式になります．

log(n+1)/log(n)
<
(Σ[k=1～n]1/k)/log(n)
<
1+ 1/log(n)

logは単調増加で無限大に発散なので，
1<log(n+1)/log(n) となることとあわせて
はさみうちでおわり

ちなみに
>０　＜　Σ[k ; from　１　to n] 1/k　－ｌｏｇｎ　＜　１
が示せても意味はありません．
＃振動する可能性が除去できません．

お礼

ありがとうごさいました。

回答No.5

Suue

これは、ｌｏｇｎに収束するのではなく、ｎが大きいとｌｏｇｎに近似できるという意味です。すでに書かれていますが、

lim[n→∞]Σ[k ; from　１　to n] 1/k
は収束せず、正の無限大に発散します。

これがｌｏｇｎに近似できることの証明は、区分求積を使ってください。そうすれば、
０　＜　Σ[k ; from　１　to n] 1/k　－ｌｏｇｎ　＜　１
となることが示せるはずです。

また、こちらもすでに書かれていますが、上記の不等式の中項は、ｎ→∞で収束し、オイラーの定数と呼ばれています。これはガンマ関数の無限積表示などに登場します。

お礼

Σ[k ; from　１　to n] 1/k　－ｌｏｇｎ
が何かの値に近似すれば（１？）証明できるのですねっ！
ありがとうごさいました。

回答No.4

Newton__

再びすみません。
ANo.2で、回答したものですが、
やはり皆さんのおっしゃる通り、解けませんね。
早とちりでした。
申し訳ありませんm(__)m

回答No.3

kabaokaba

>がlognになることを証明する問題が分かりません。

log(n)には収束しません．
無限大に発散しますし，簡単に証明できます．

lim[n→∞](Σ[k=1～n]1/k - log(n))
ならば収束します
収束値はγとかかれEuler定数と呼ばれます．
まだ無理数かどうかすら不明の数です．

お礼

log(n)になると教授が言ってたのですが・・・教授が間違っている可能性があるかもしれませんね・・・

a_n、b_n＞０、a_n～b_nとはa_n/b_n→１とする。（n→∞）
このとき、Σ（k=1～n)k＝(1/2)n(n＋1)～n^2/2
Σ[k=1～n]k^2＝(1/6)n(n＋1)(2n＋1)～n^3/3
Σ[k=1～n]k^3＝{(1/2)n(n＋1)}^2～n^4/3
Σ[k=1～n]k^α（α＞-1）～n^(α＋1)/α＋1
とそれぞれ変形できるとき
（今回の問題）
Σ[k=1～n]1/k～log(n)
これを証明せよ。

問題が分かりにくくかった人もいたのかもしれません。申し訳なかったです。

回答No.2

Newton__

区分求積を使えば解けると思います。
間違っていたら、すみません。
高校の数学IIIで習うと思います。

回答No.1

endlessriver

少し違います。オイラーの定数で解析や微積分の教科書を調べるとよいです。

お礼

何が「少し違う」のでしょうか？
問題が違うのでしょうか？