楕円運動におけるテーラー展開の利用

質問

力学の授業でレポートが出されました。

惑星が万有引力f=-μ/r^2(rは力の中心からの距離)によって楕円運動をするときに、aを長軸半径、eを楕円軌道の離心率として、r=a(1-ecosθ)で定義されるθを用いてこの運動の様子を考えます。

ここまでで周期TがT=2π(√a^3/μ)と表され、t=(θ-esinθ)/nとなることが導出できました。

しかし次の問題が、「eが1に比べて十分に小さいとき、上で導出したtとθの関係式を用いて、θとtの関係式をeの一次まで考慮して表せ」というもので、テーラー展開を用いるらしいのですがさっぱりわかりません。テーラー展開自体が数学で習いたてなので苦しいです。

よろしくお願いします。

回答No.2

inara1 · ベストアンサー

ケプラーの方程式
　　　t = { θ - ε*sin(θ) }/n
から
　　　θ = n*t + ε*sin(θ) --- (1)
式(1)において、ε = 0 と仮定すれば
　　　θ = n*t　　　　　　　　　　　　[第0近似]
これを式(1)の sin(θ) に代入すれば
　　　θ = n*t + ε*sin(n*t) 　　[第1近似] --- (2)
式(2)を式(1)の sin(θ) に代入すれば・・・というのを繰り返せば、 ε に関する テーラー展開が得られますが、1次までで良いのなら式(2)が答えになります。

お礼

早々のご回答誠にありがとうございました。大変役に立ちました！

自分でもしっかりテーラー展開を学習してみます。

回答No.1

eatern27

t=(θ-esinθ)/nのままでは何がいけないのでしょうか？

補足

tが与えられたときにθがすぐに決まるようにしたいということだそうです。