展開の公式

質問

(A+B)^3 の展開について
(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3と覚えていたのですが、どうやら　(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)　というのもあるようなんです。

たとえばA=2,B=3とすると、上の式にあてはめると
107 下の式だと127になります・・・。元は同じものなのに違うはずがないんですけど、何がいけないんでしょうか。お願いします。

回答No.3

potter548 · ベストアンサー

この問題は何気に重要な事項を含んでるんで補足します。
(A+B)^3の展開公式は？といわれた場合、(A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^2+B^3でOKです。(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)ももちろん等式として正しいのですが、3AB(A+B)の部分がもう一段階展開できるんで、これが「展開公式」であるとはいえません。

しかし、問題を解く上で後者の公式が重要になってくることがあります。たとえば、
A+B=1, AB=2のとき、A^3+B^3の値を求めよ。
といわれたとき、公式を使えば、
(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)
A^3+B^3=(A+B)^3-3AB(A+B)
A^3+B^3=1^3-3*2*1=-3
と導出することができますね。ところで、A^3+B^3はAとBを入れ替えるとB^3+A^3となり、結局同じ式になりますね。このような式を「対称式」といいます。その上、対称式は「(A+B)とABだけで表せる」という不思議な性質を持っているのです。だから、対称式であるA^3+B^3も(A+B)^3-3AB(A+B)となり、(A+B)とABだけで表せたのです。
対称式であるA^3+B^3をどうやって(A+B)とABだけで表すのか、もある程度知っていて損は無いので、(A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)という式も「全くどーでもいい式」ではないのです。

ちなみに、他の対称式では、
A^2+B^2=(A+B)^2-2AB
A/B+B/A=((A+B)^2-2AB)/AB=(A+B)^2/AB + 2
などがあります。ほら、A+BとABだけで表せてるでしょ？

お礼

いやぁー、まさにそれですよ!!　この「A＋B=1,AB=2　のときA^3＋B^3　は？」のような問題のとき、展開の公式では解けないな・・・と思って答えを見たら、　A＋BとABだけで表す式が載ってたんです。一見して、これも新たな（A＋B)^3の公式か？！と思って、違いを比較するために、質問してみたんです。まぁ、これは公式をただ括っただけだったんですけどね(^^;
「対称式」の性質に関してもこれからすごく役立ちそうです！対称式はABとA＋Bに表す式にできるんだなって思い出せば公式覚えていればそのかたちに変形できますし。
まぁA^3＋B^3以外の対称式についても、ありがとうございます。
2つの式は同じだと確認する以外にも、式の性質から問題の出題パターン（対称式を使うような場合）まで分かって本当にためになりました！
というか、この2つの式の比較だけでこんなことまで考えられるんだ！と感動？！というかスゲェーーと思ってしまいました(^^;　自分は数学は嫌いな教科って感じだったんですがなんか面白く感じることが出来ました(^^　色々有難うございました!!!

回答No.2

KhanKhaLi1i

(A+B)^3 の展開について

1 (A+B)^3=A^3+B^3+3A^2B+3AB^2
2 (A+B)^3=A^3+B^3+3AB(A+B)

1と2の式でA^3+B^3の部分は一緒ですね。

んで２の式の　3AB(A+B)　の括弧をはずします。
3AB(A+B)=3A^2B+3AB^2
になりますね。

「3A^2B+3AB^2」の「3A^2B」と「3AB^2」にはそれぞれ
「ＡとＢ」がひとつずつあるので「3AB(A+B)」と表現できます。

要するに１と２は一緒ですよ。

ちなみに　A=2,B=3　とすると、両方とも「125」になりました。

お礼

あ、２の公式は１の公式の3a^2b+3ab^2の共通部分3abを外にだしてくくっただけだったんですね。これで公式が同じものだと納得しました！有難うございます。先ほど補足として、この公式を利用した問題でわからないのがあったんで書いたのですがうまく処理するために、やはり問題の場合によって使い分ける必要があるんでしょうかね。

回答No.1

shkwta

A^3＝8
3A^2B＝36
3AB^2＝54
B^3＝27

合計、A^3+3A^2B+3AB^2+B^3＝125

A^3＝8
B^3＝27
3AB(A+B)=90

合計、A^3+B^3+3AB(A+B)=125

直接計算

(A+B)^3＝125

すべて一致します。

補足

すみません、B^3を勘違いして９として計算してました・・・。　もう一つお伺いしたいのですが、さっきの公式が２つとも同じかという質問をなぜしたかというと、　【a^(1/3)+a^(-1/3)=√7　のときa+a^(-1)の値を求めよ】という問題で、a^(1/3)=A　a^(-1/3)=Bと置いてみて、上の公式に当てはめてやると、｛a^(1/3)+a^(-1/3)}のところは√7とできるんですけどa(2/3)+a(-2/3)が残ってしまいます・・・。　下の公式に当てはめるとうまく4√7　と出てきます。やっぱりうまく処理するためにこの場合は下の公式をつかわないと解けないのでしょうか。