多項式を展開したときの項の数

質問

多項式を展開したときの項の数について質問です。

(1+a+b+…+m)^nを展開した場合の項の個数はいくつになるのか、
ということが知りたいです。
一般的な式で表すことができるのでしょうか。

ちなみに、(1+a+b)^2であれば、
[aa, bb, ab, a, b, 1(定数項)]で6個になると考えてください。

自分が計算したり調べた限りでは解答を得られなかったので、
解答できる方、よろしくお願い致します。

回答No.1

f272 · ベストアンサー

(1+a+b)^2
異なる3つの項からなる式を2乗するときの項数は3H2=4C2=6

でも(1+a+a^2)^2=1+2a+3a^2+2a^3+a^4のような場合はこれと同じようには計算できませんが...

お礼

重複組み合わせ、ということですね。
Hの記号について知らなかった（忘れていただけかも・・・）ので、
とても役立ちました。
ありがとうございます。

回答No.2

naniwacchi

まず「n乗」をばらして考えるところからスタートしてはどうでしょうか？
(1+a+b+…+m)^n = (1+a+b+…+m)×(1+a+b+…+m)×…×(1+a+b+…+m)

それぞれの(1+a+b+…+m)から1つずつ数（定数項・文字項）を選んでかけ合わせることで1つの項が生まれます。
式を展開するときに普通にやっていることです。
たとえば、n個の(1+a+b+…+m)のうち
・1を3個
・aを5個
・bを10個
・mをn-18個
と選べば、その項は a^5・b^10・m^18となります。

ここで「aを5個」という表現の見方を変えてみます。
n個のボールのうち、5個を「a」と書かれた箱に入れる。
これを各々の文字（数）について考えていくと、
n個のボールを m+1個の箱に振り分けていくということになります。
この組み合わせは、n個のボールとm個の仕切り棒を1列に並べることと同じになります。

イメージ ⇒ ○○｜○｜｜○○…○｜｜｜｜○｜…

仕切り棒で区切られたところが先の「箱」になります。
先頭は「１」の箱、2番目は「a」の箱、3番目の「b」は空なので指数は0です。

これを数え上げればいいと思います。
ただし、いまの問題では定数項「１」があるので、注意が必要だとも思います。
考えながら書いてしまったので、不備などあったらすみません。

お礼

イメージができてよかったです。
ただ、自分としては、この解を一般式として欲しかったので、
今回は次点とさせていただきました。
ありがとうございました。