多項定理

質問

{x+(1/x)-2}^5　の展開式における定数項を求めよ。
という問題なのですが、多項定理をどのように使うのでしょうか。
同じ変数が出ているので、よくわかりません。

回答No.2

arrysthmia · ベストアンサー

{ } 内を通分して、
{ x + (1/x) - 2 }^5 = { (x^2 + 1 - 2x) / x }^5 です。

多項定理（って言う？）を使いたいなら、
{ x + (1/x) - 2 }^5
= Σ { 5 ! / (a ! b ! c !) }(x^a){ (1/x)^b }{ (-2)^c }
= Σ { 5 ! / (a ! b ! c !) }{ (-2)^c }{ x^(a - b) }
（Σ は a + b + c = 5 となる非負整数 a,b,c の組についての和）
ですから、定数項は a = b となる a,b,c の組についての和で、
　{ 5 ! / (0 ! 0 ! 5 !) }(-2)^5
+ { 5 ! / (1 ! 1 ! 3 !) }(-2)^3
+ { 5 ! / (2 ! 2 ! 1 !) }(-2)^1
= -2^5 + 20(-2^3) + 30(-2^1)
= …

お礼

ありがとうございました。

回答No.3

koko_u_

実際に問題を解く前にいろいろ考えすぎ。
「展開式における定数項を求めよ」という問題なんだから、展開すればいいじゃない。

お礼

それは賢いやり方ではないと思います。

回答No.1

arrysthmia

{ x + (1/x) - 2 }^5 = (x^2 + 1 - 2x)^5 / x^5 = (x - 1)^10 / x^5
ですね。
二項定理を使って、(x - 1)^10 を展開したときの x^5 の係数を求める
とよいでしょう。

お礼

ありがとうございました。

補足

ありがとうございます。

(x^2 + 1 - 2x)^5 / x^5　はどのように出されたのでしょうか。
また、多項定理を使って求めることは可能でしょうか。