二項定理の問題です

質問

二項定理の問題です
（x＋１＋１/x)^10 の定数項を求めよ、です。答えは8953です、どなかた教えてください。よろしくお願いいたします。

回答No.2

asuncion · ベストアンサー

x と 1/xを同じ数だけ選ぶと互いに打ち消し合って定数項になります。

(x + 1 + 1/x)^10
= (x + 1 + 1/x)(x + 1 + 1/x)(x + 1 + 1/x)...(x + 1 + 1/x)
と展開して得る10個のx + 1 + 1/xのうち、
xと1/xを同じ数だけ選ぶと定数項になります。

よって、
10C0・10C0 + 10C1・9C1 + 10C2・8C2 + 10C3・7C3 + 10C4・6C4 + 10C5・5C5
= 1 + 90 + 1260 + 4200 + 3150 + 252
= 8953

お礼

ご回答ありがとうございます。とてもよくわかりました。ありがとうございました。

回答No.1

naniwacchi

積としてかけられている10個の （x+ 1+ 1/x）から、
どれとどれを選び出すと「定数項」が出来上がるかを考えます。

たとえば、すべて「1」を選べば定数項が出てきます。
「1つは xを選び、もう1つ 1/xを選んでも（残りは 1を選ぶ）」、定数項が出てきます。
さらに「2つは xを選び、さらに ２つ 1/xを選んでも」、定数項が出てきます。
以下、定数項が出てくる組合せを数え上げていきます。

x+ 1+ 1/xの各項に対する係数は「1」なので、
組合せの数を数えるだけで答えがでます。

お礼

お世話になります。ご回答ありがとうございます。考えてみます。