多項式の展開

質問

二項係数（１＋ａ）＾ｎの一般項ａ＾ｔの係数はｎCｔといのはわかります。
では（１＋ａ＋ａ＾２＋ａ＾３＋・・・＋ａ＾（ｍ－１））＾ｎの一般項ａ＾ｔの係数はどのような式で書けるか教えて下さい。

回答No.4

AssurBanipal · ベストアンサー

(1+a+a^2+…+a^(m-1))^n の一般項a^tの係数を F(n,m,t) とすると、
F(n,m,t)は次式で与えられる。

F(n,m,t)=Σ[k=0,FLOOR(t/m)] {C(n,FLOOR(t/m)-k)*(-1)^(FLOOR(t/m)-k)*C(n-1+t-m*FLOOR(t/m)+m*k,n-1)}

(ただし、C(p,q)=p!/(q!*(p-q)!).　また、FLOOR(α)はαを超えない最大の整数を表す。)

たとえば、
F(100,50,2000)
=16535277427915436369561872550595457217740362504178017696367784533816034252605
567295681477438394711575209327792636276609830696958386338515661996094527315184
06755517492.

お礼

すごい！　あなた天才ですか？
式が正しいのか凡才の私には全く理解できませんが、とにかく恐れ入りました。
どうやったらこんな公式が出てくるんですか？

回答No.6

age_momo

#3です。

>この場合の平均と分散はどうなるのでしょうか。

0から(m-1)までm個の平均は

E(X)=1/mΣ[0→(m-1)]k=1/m*m*(m-1)/2=(m-1)/2

分散は
V(X)=E(X^2)-{E(X)}^2=1/mΣ[0→(m-1)]k^2-{(m-1)/2}^2
=1/m*1/6*(m-1)m(2m-1)-{(m-1)/2}^2=(m^2-1)/12

この分布をn個足すと
平均n(m-1)/2,分散n(m^2-1)/12
となります。

私も#4さんの式は初めて見ました。すごいですね。

お礼

回答ありがとうございました。
おかげで中心極限定理の意味が少し分かったような気がします。勉強になりました。

補足

申し訳ありませんが、甘えてもう一つ質問させてください。

＞もともと二項分布を初めとする一様分布の和はn数を増やすと正規分布に近づきます。

一様分布じゃない場合、たとえば連続関数ｆ（ｘ）＝ｘ＾（－ａ）　ただし０＜＝ｘ＜＝１　からｎ回無作為抽出した場合の平均の分布はどのようになりますか？

私の予想では対数正規分布になると思いますがいかがでしょうか？

回答No.5

oyaoya65

#1です。
A#4さんの式が正しいことをMathematicaを使い
{m,n,t}の組み合わせをいろいろ変えて確認しました。

凄いですね。ご自分で考えられたのでしょうか。
それともどこかに載っていたのでしょうか。

お礼

確認ありがとうございました。

回答No.3

age_momo

>Ｆ（ｘ）の係数もｎを大きくすると正規分布に漸近するのではないかと思いますがいかがでしょうか。

これは間違いないですね。
もともと二項分布を初めとする一様分布の和はn数を増やすと正規分布に近づきます。
例えばサイコロをn回振った合計はnを増やすと正規分布に近づく事が中心極限定理で
証明されています。
質問の場合も0～(m-1)のサイコロ（？）の和と考えられますから中心限定定理の
要件を満たしています。
なのでF(a)もnを増やすと正規分布に漸近すると言えると思います。

参考URL：

http://econom01.cc.sophia.ac.jp/sda/normal.htm

お礼

回答ありがとうございました。

なるほど！中心極限定理から言えるのですね。私は一般項を見つけてスターリングの公式でも使わないとダメかと思っていました。

この場合の平均と分散はどうなるのでしょうか。丸投げは違反とのことなので自分でも考えてみますが、ヒントでも教えて下さい。

回答No.2

quantum2000

取りあえず ｔ≦ｍ－１ の場合について、ヒントだけでどうでしょうか？

１≦ｎ，０ ≦ ｔ ≦ ｎ（ｍ－１）としましょう。
ａ^t の係数は、展開式にａ^t が何個出てくるかを表している数ですが、
いまはｎ個のカッコの展開式ですから、
それぞれのカッコから、ａを何個かずつ掛けたａ^s という形の項を、全部でｎ個取り出して、
それらを全て掛け合わせ（て展開し）た物が、ａ^t になっていればよいので、
こうした組み合わせの総数は、ちょうど、
「負でない整数ｔを負でないｎ個の整数の和に分ける」分け方の総数になっているのでは？

例：ｘ＋ｙ＋ｚ＝１０ となる負でない整数ｘ，ｙ，ｚの組の総数は、組み合わせの記号を使うと、
10+3-1Ｃ3-1 ＝ 12Ｃ2 ＝ ６６通り。

つまり例えば、（１＋ａ＋ａ^2＋ａ^3＋・・・＋ａ^11）^3 の展開式で、
ａ^10 の項の係数は、10+3-1Ｃ3-1 ＝ 12Ｃ2 ＝ ６６
となる！？？

ｔ＞ｍ－１ の場合については、これが質問者さんの聞きたい点かなとも思いますが、
ちょっと直ぐには求まりませんね・・・

取りあえず、次の方にバトンタッチ！　スミマセン！！

お礼

回答ありがとうございました。
補足を投稿した後気付いたのですが、補足のｆ（ｘ）、Ｆ（ｘ）はｆ（ｃ）、Ｆ（ｃ）の間違いでしたすみません。補足のｃもａと書いた方が良かったかもしれません。

補足

回答ありがとうございました。自分でも考えてみました。

ｆ（ｘ）＝１＋ｃ＋ｃ＾２・・ｃ＾（ｍ－１）とします。

問題の多項式をＦ（ｘ）＝ｆ（ｘ）＾ｎとすると
Ｆ（ｘ）の最高次数はｎ（ｍ－１）つまり０＜＝ｔ＜＝ｎ（ｍ－１）です。

ここで（ｎ－１）次の一般項ｃ＾ｕ　（ただし０＜＝ｕ＜＝（ｎ－１）（ｍ－１））の係数Ｋｕが分かっているとすると。

Ｆ（ｘ）＝ｆ（ｘ）・ｆ（ｘ）＾（ｎ－１）＝（１＋ｃ＋ｃ＾１・・ｃ＾（ｍ－１））（１＋（ｎ－１）ｃ・・ｃ＾（ｎ－１）（ｍ－１））ですから。

Ｆ（ｘ）のｃ＾ｔの項の係数Ｋｔ＝Σ（ｕ；（（ｔ－ｍ）→ｔ）Ｋｕ　となると思います？

これはＫｔを漸化式で示したことになります。でもこれ以上、Ｋｔをｎ，ｍ，ｔで表す方法は私には分かりません。

　実は（１＋ａ）＾ｎの係数（二項係数）がｎを大きくした時、正規分布になる（つまり二項分布はｎを大きくしたとき正規分布になる）というのは初等確率論の教科書に載っていますが、私の予想ではＦ（ｘ）の係数もｎを大きくすると正規分布に漸近するのではないかと思いますがいかがでしょうか。

これが最終的に証明したいことなのですが。ご意見お願いします。

回答No.1

oyaoya65

m,n,tとも変数で固定していないので求めるのは難しいですね。

逆にm,nを定数にすれば数学ソフトで簡単に展開でき、具体的なtを与えればａ＾ｔの係数は求まりますが、係数の一般項（m,n,tとnCrを使って）を求めるのは困難、というより、係数の拾い集めがm,nの大小関係で、場合わけが出てきて、ちょっとやってみたところ大変ですね。

tについても,tと(m-1)の大小関係で場合わけが必要になりますね。
たとえば　t＞m-1の場合は
a^t項を考える場合は、指数部がa^(t+1)以上の項は考えないでよくですね。

これ以上考えても頭がパンクします（^^;）。

なお、質問者さんが解答の一部でも示して質問されないと丸投げの質問となって削除対象になりますよ。

お礼

御回答ありがとうございました。丸投げになってすみません。自分の考えも＃２さんの補足に書いてみましたのでよろしくお願いします。