項の個数の出し方

質問

（a＋b＋c＋d）の4乗を展開してできる多項式の異なる項はいくつありますか?またa（の2乗）bcの係数を求めよ。という問題です。

解答がなくて申し訳ありませんが、考え方を教えて頂けたら嬉しいです！

回答No.2

Takeshi-Gouda · ベストアンサー

重複組み合わせが分からないということでしょうか？
二項定理を習っているなら、間違いなく重複組み合わせについては習っているハズなんですが。

重複組み合わせの問題は○と/で考えると分かりやすいです。
今回の問題ですと、「a,b,c,dの異なる４種類から、重複して４つ選択する」組み合わせを探すので、

○/○/○/○

といったように、○を４つ、/を３つ使って考えるといいと思います。
上記の例だと、領域が４つに分かれているのが分かります。

左から「aの領域」「bの領域」「cの領域」「dの領域」と名前をつけると、

aの領域：１つ
bの領域：１つ
cの領域：１つ
dの領域：１つ

となり、これは「abcd」という並びを表します。
ほかにも、

/○○/○/○　→　b^2cd
○○○○///　→　a^4

といった形で表すことができます。
ということは、○と/の並びが何通りあるか調べることで、問題の項の数を調べることができます。

では実際に調べてみると、まず、○と/合わせて７つの要素があるため、これらの並びは

7!

だけ存在することが分かります。ただ３つの/を、/A、/B、/Cとした場合、

○○/A○/B○/C
○○/A○/C○/B
○○/B○/A○/C
・・・

と/の位置関係に関わらず、上記はすべて「a^2bc」を表しています。
つまり「7!」だけでは重複して数えてしまっているため、/の分を考慮し、

7!÷3!

というパターン数が存在することになります。
同様に○の分も考えると、

◎●/A○/B○/C
●◎/A○/B○/C

はどちらも「a^2bc」を表していることがわかります。
ので、○の分も重複して数えてしまっているため、○の分を考慮し、

7!÷3!÷4!

の計算をする必要があります。

よって、「a,b,c,dの異なる４種類から、重複して４つ選択する」組み合わせは

7!/3!4!

となります。
文章で説明するのは難しい・・・。

お礼

二度もありがとうございました(^-^)

領域の説明で完全に理解しました!

わかりやすくありがとうございます!

回答No.1

Takeshi-Gouda

(a+b+c+d)^4を展開すると、各項が必ず４次になることが理解できているという前提で説明します。

＞（a＋b＋c＋d）の4乗を展開してできる多項式の異なる項はいくつありますか?

これは重複組み合わせの問題と考えると分かりやすいと思います。
つまり、

「a,b,c,dの異なる４種類から、重複して４つ選択する」

という問題に置き換えると簡単だと思います。

例えば、

「aaaa」と選択すれば「a^4」
「abbc」と選択すれば「ab^2c」

となります。重複組み合わせの問題とすると、

7!/(4!3!) = 35通り

よって答えは、35個の項ができることになります。

＞またa（の2乗）bcの係数を求めよ。

これは多項定理の式を用いると楽に解けます。
多項定理の公式は、画像で添付しておきます。

今回の場合、a^2bcですので、

4!/(2!1!1!) = 12

となり、a^2bcの系数は12になります。

もし多項定理をご存じない場合は、２項定理を使っても解くことができます。

A=a+b
B=c+d

よって与式は

(A+B)^4

となり、二項定理を使うことができる式になると思います。

参考になれば幸いです。

補足

後半の問題わかりました！ありがとうございます(^^)

ただ前半の
7!／4!3!の理屈が分からなかったので、お手数ですがもう一度お願いします(;_;)