展開

質問

(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)という問題です
普通にやっていけばできるんですが、aを整理してから展開していくらしいです
（a+b+c){a^2-(b+c)a+b^2+c^2-bc}
とやったのですが行き詰っています
ヒントをください

回答No.1

ryn · ベストアンサー

{a + (b+c)}{a^2 - (b+c)a + (b+c)^2 - 3bc}
のような感じで似た形を作れば
少しやりやすくなるのではないでしょうか。

回答No.4

fushigichan

shiro-maiさん、こんにちは。
aについての式だとみなして、a以外は定数項だと思って展開すればいいですよ。

＞(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

（与式）=（a+b+c){a^2-(b+c)a+b^2+c^2-bc}
={a+(b+c)}{a^2-(b+c)a+b^2+c^2-bc}
=a^3-(b+c)a^2+(b^2+c^2-bc)a +(b+c)a^2 -(b+c)^2a +(b^2+c^2-3bc)(b+c)
=a^3-3abc +{(b+c)^2-3bc}(b+c)
=a^3-3abc+(b+c)^3-3bc(b+c)
=a^3-3abc+b^3+3b^2c +3bc^2 +c^3 -3b^2c-3bc^2
=a^3+b^3+c^3-3abc

となって展開できました。

お礼

こんなに詳しく説明してもらってうれしいです
ありがとうございます
もう一度自分でやってみます

回答No.3

ojin

爺にも頭の体操と思って参加させてください。

＞(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)

a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a+b+c)^2

(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ca
だから
a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca=(a+b+c)^2-3ab-3bc-3ca
(a+b+c){(a+b+c)^2-3(ab+bc+ca)}=(a+b+c)^3-3(a+b+c)(ab+bc+ca)

(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3ab^2+3a^2b+3ac^2+3a^2c+3b^2c+3b^2c+3bc^2+6abc
公式、でも、ぎりぎり展開しても同じ。
又、
3(a+b+c)(ab+bc+ca)=3ab^2+3a^2b^2+3ac^2+3a^2c+3b^c+3b^2c+3bc^2+3abc
となるから
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)=a^3+b^3+c^3+3abc

爺だから、解析Iだったか、解析IIだったが記憶にはないけれど、質問の方の意図とは違うのかも知れない、したがって、このアドバイスは無視。

お礼

こんなに一生懸命ありがとうございます
もうすっっごくうれしいです

回答No.2

neue_reich

Ｎｏ１さんの回答でほぼ準備終了です。
この式の(b+c)をＸと置き換えてから普通に展開してみてください。
その結果、出てきた式のＸを元に戻すとかなり整理された式になりますよ。

ちなみに、答えの式の項数は４つです。
（昔、公式として教えられたような気がします）

お礼

ありがとうございます
文字にしてやったらやりやすかったです