数学の問題 解き方

質問

数学の問題の解き方がわからないので、教えて下さい。

展開。
（a＋b＋c）（a²＋ｂ²＋c²-ab-bc-ca)

答えは　a³b³c³-3abc　と書いてあるのですが解き方がわからないので、教えて下さい。
よろしくお願いします。

回答No.7

WiredLogic · ベストアンサー

この問題が解ければいい、だけでなく、
因数分解も含めて、できるようになりたければ、
１つの文字について整理、という技を覚えましょう。
参考書などでは、こちらが推奨のはず。

因数分解の場合、３文字以上では、整理がほぼ必須だから、
練習になる、と言う意味と、展開したものに何かを足して、
それを因数分解するのは、割とよくある問題なので、
展開のときに整理しておけば、そのあとの足し算・引き算も、
因数分解も、やりやすい(わざわざバラバラにしたものを、
またまとめる必要がないから)。

左の()内は、a,b,cどれについても１次式、
右の()内は、どれについても２次式なので、
どれでもいいけども、とりあえずaについて整理すると、
(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
= {a+(b+c)}{a^2-(b+c)a+(b^2-bc+c^2)}

次数に違いがあるときは、次数が低い文字について、
整理するのが、原則。理由は、その方は、普通は、
扱いやすいから。

掛け算の筆算、という奴を知っていたら、ここで、
それを使うのが最速！、筆算のときは、数で、上を
桁が多い方、下を少ない方、にしたほうが、普通は
楽なのと同じで、上を次数の高いもの、下を低いもの、
にして、やるのがお勧め(例外もあるけど、そういうのは
使っている内に解ります)

勿論、このまま、計算を続けてもできるが、
そのときは、整理したものを整理したまま、計算すること、
バラバラにしては、せっかく整理したのが、元も子もない、
もう一つは、aについての１次式×２次式だから、３次式に
なるのは、当たり前、これを踏まえて、
次の行に、= a^3 + { }a^2 + { }a + { }のような枠組を
最初に書いてしまい、穴埋め問題の要領で、a^3の項は？、
a^2の項は？、aの項は？、定数項(aが出てこない項)は？
というふうに拾っていくのが、お勧め、ただし、かけるもの
どうし線で結んだり、#3&#6さんのように、表を作るのに
くらべ、慣れないと、掛け算の見落としが出ることが、
これには注意、そして、

与式 = a^3 + {(b+c)-(b+c)}a^2 + {(b^2-bc+c^2)-(b+c)^2}a + (b+c)(b^2-bc+c^2)

としたところで、１次式の方は、aについて、項２つ、２次式の方は項３つだから、
かけて、項は6つできているはず、a^3は１つ、a^2に２つ、aに２つ、定数項１つ、
合計6つでＯＫ、のようなチェックをしていくと、ミスしにくい
(筆算だと、ちゃんとやれば、この手の気を使わずにすむので楽)

勢いでこの長い式のままやるのでもいいけど、各項の係数を
(b+c)-(b+c) = 0,
(b^2-bc+c^2)-(b+c)^2 = (b^2-bc+c^2)-(b^2+2bc+c^2) = -3bc
(b+c)(b^2-bc+c^2) = b^3+c^3 (公式)
と、部分部分で計算していくのもお勧め。

こっちは写し損ないの危険があるけど、計算自体は、ミスが出にくく、
出ても、チェックがしやすい、そのへんを天秤にかけて、お好みで。
試験の答案なら、答案用紙には、本筋だけ書いておけて、こういう
部分計算はメモ・計算用紙ですませても可。で、

与式 = a^3 - (3bc)a + (b^3+c^3) = a^3+b^3+c^3-3abc
となって計算終了、

お礼

ありがとうございます。
aでくくればいいんですね！
アホなので後ろの（）の方を、なんとか（a＋b＋c）の形にできないかと一生懸命やってました。

みなさんほんとに頭がいいですね～。
答えがちがっていたというのに・・。（申し訳ないです・・・）
私はきっと現役の頃でも分かんなかったと思います。

これですっきりしました。本当にありがとうございました。

回答No.9

edomin7777

答えは、

a^3+b^3+c^3-3abc

になるはずですが…。

回答No.8

noname#185374

ANo.3への「お礼」に対して

>問題と答えは合ってました。

a=1, b=c=0 の場合，

>（a＋b＋c）（a²＋ｂ²＋c²-ab-bc-ca)

= (1+0+0)×(1+0+0-0-0-0)
= 1×1
= 1

>a³b³c³-3abc

= 0 - 0
= 0

ですから，成り立ちません．

そもそも，元の式を展開すると各項は文字について３次になるはずであるのに，「答え」の「a³b³c³」は9次であり，次数が合いません．

パソコン等の画面表示に問題があるのでしょうか？

お礼

本っっっ当に申し訳ございません！！
全力でお詫びします・・。

正しくは　a³＋b³＋c³-3abc　でした。

大事な時間をたくさん使わせてしまってごめんなさい。
根気強く書いて下さってありがとうございました。

回答No.6

noname#232491

no.3です
先の画像に間違い有り。（すいません）
修正画像つけます。（aの段の一番右　a²c　が正しい）

（答えは a³＋b³＋c³ー３abc となるはずです。）

お礼

ご丁寧にありがとうございます！
先ほどのを自分で書いてやってみたら答えになりました。
昨日はルートを使ってみたり散々悩んでたので、うれしいです。

回答No.5

asuncion

＞その答えは間違っています．

という回答が、間違っています。

お礼

ありがとうございます。
一応もう一回確認したら合ってました。

回答No.4

noname#232491

添付画像のように書いてみてください。
俗に「消せる」項がいろいろあることに気づくはずです。

お礼

ありがとうございます。
この方法でやると整理されてわかりやすかったです。

回答No.3

noname#185374

その答えは間違っています．
例えば
a=1, b=c=0
の場合に成り立ちません．

お礼

ありがとうございます。
確認してみたのですが、問題と答えは合ってました。

回答No.2

noname#185374

その答えは間違っています．

回答No.1

DarkMoon

（A＋B）（X＋Y）

の展開の仕方は分かりますよね？

その応用だと思います。

お礼

ありがとうございます。