弾力性の証明について

質問

以下のような問題なのですが、
ln((w2/w1)/(x2/x1))=ln(w2/w1)+ln(x2/x1)
をln(x1/x2)について微分するのかなというような予想はつくのですが、そこからどういう計算をしたら、
1/(σ-1)が導かれるのかが検討つきません。よろしくお願いします。
σは、dln(x2/x1)/dln|TRS|
TRSはtechnical rate of substitutionです。

【問題】
f(x1,x2)という生産関数があり、w1,w2をそれぞれのinputの価格とします。show that the elasticity of the factor share (w2x2/w1x1) with respect to (x1/x2) is given by 1/(σ-1)
(教科書が英語で、最後の部分はうまく日本語で表現できなかったので、そのまま書いております。すいません。)

回答No.3

noname#161857 · ベストアンサー

導出自体は簡単そうなので自分でやってみましたが答えがあいません。正しいかどうかわかりませんが、一応私の計算手順を示しておきます。

まず、

σ≡dln(x2/x1)/dln|TRS|

ですが、費用最小化条件よりTRSは投入物の価格比率に等しくなっていなければなりません。よって、

TRS = w1/w2

となります。この関係を使うと、

σ = dln(x2/x1)/dln(w1/w2)

と書き換えることができます。
一方、ln((w2x2)/(w1x1))をln(x1/x2)で微分すると

dln((w2x2)/(w1x1)) / dln(x1/x2)
= dln(w2/w1)/dln(x1/x2) + dln(x2/x1)/dln(x1/x2)
= dln(w2/w1)/dln(x1/x2) - 1

となります。これの第一項をσを使って書き換えると

= 1/σ - 1

となります。

どこかで間違えているのか、答えは1/(σ-1)となりません。

ただ、直感的に考えると1/(σ-1)という答えはおかしいような気がします。例えば一番単純なCobb-Doublas型のケースを考えてみます。Cobb-Doublas型生産関数ではσ=1であるので、1/(σ-1)は無限大となります。しかし、Cobb-Doublas型の場合には投入物への支出シェアは常に一定であるので、(w2x2)/(w1x1)も常に一定となり

dln((w2x2)/(w1x1)) / dln(x1/x2) = 0

となるはずです。これから考えると1/(σ-1)という答えはおかしいのではないかという気がします。

お礼

>white_lightさん
どうもありがとうございます！！！
ご指摘の通り、確かに”１／σ　－　１”にならないとおかしい気がします。でも、問題が掲載されているプリントを確認したのですが、やはりこのままでした。なので、先生に確認してみたいと思います。

回答No.2

Shinzon

No.1への補足です。
J.M.Henderson&R.E.Quandt Microeconomic Theory:A Mthematical Approach
です。§3-2に証明があります。
また、これですと少し古いので
H.R.Varian Microeconomic Approach
Ch.1 もご覧ください（とはいえ、これも、1978年・・・）。後者のほうが少し簡略化されています。御指摘のとおり、対数関数の微分ですので、多少根気が要りますが、丁寧に整理していけば解けますよ。

お礼

Varian の本見つかりました。どうもありがとうございます！！！

回答No.1

Shinzon

show that the elasticity of the factor share (w2x2/w1x1) with respect to (x1/x2) is given by 1/(σ-1)
を訳しますと、比 (x1/x2) に対する生産要素比(w2x2/w1x1)の弾力性が1/(σ-1)で与えられることを示せ、です。
問題は、「代替の弾力性」を求めなさいという問題です。最近の学部生向けの教科書にはあまり載っていませんね。西村和雄『ミクロ経済学』、倉沢資成『価格理論』、ヘンダーソン＆クォント『現代経済学』などに、代替の弾力性の計算と証明がのっています。自然対数に慣れていらしたら、使ってもいいのですが、なしでも可能です。

お礼

>Shinzonさん
ご回答ありがとうございます。
実は、今留学中なので西村和雄『ミクロ経済学』、倉沢資成『価格理論』は見つけられそうにもないので、ヘンダーソン＆クォント『現代経済学』を図書館で探してみます。きっと”contemporary economics”とかになってるのですよね。