球面三角形の正弦定理・余弦定理

質問

球面上の非ユークリッド幾何学に興味を持ち、正弦定理・余弦定理があることまではわかったのですが、どこにも証明が載っておらずに困っています。どのような証明で導けるのでしょうか？

回答No.1

torahuzuku · ベストアンサー

今日は。直角球面三角形ABCにおいて、C=π/2　とすると、他の角A,BのsinA,cosA,tanA,sinB,cosB,tanB表示はご存知である事とし、
またcosc=OE/OB=OD/OB*OE/OD …(1)（Oは球の中心点です。またBD⊥OC, DE⊥OA, OB=1(単位長さ)）とおきます。

一般の球面三角形の正弦定理は、まず球面三角形ABCの頂点Cから対辺ABまたはその延長と垂直に交わる大円の弧CDの長さをｐとする。
直角球面三角形CADについて、
　sinA=sinp/sinb
直角球面三角形CDBについて、
　sinB=sinp/sina
∴sina/sinA=sinb/sinB
同様に、　sinb/sinB=sinc/sinC

一般の球面三角形の余弦定理は、先と同じ条件でpを設定し、弧AD=m, 弧BD=n とすれば、直角球面三角形CDBについて、(1)から　cosa=cosp*cosn
同様に直角球面三角形CADから、　cosb=cosp*cosm
　n=c-m または m-c であるから、
　cosp=cosb/cosm=cosa/cosn=cosa/cos(c-m)
∴cosa=cosb*cos(c-m)/cosm=cosb*cosc+cosb*sinc*tanm
ところが、cosA=tanm/tanb から、
tanm=tanb*cosA よって、次の等式が成り立つ。
cosa=cosb*cosc+sinb*sinc*cosA
cosb,coscも同様な方法で導かれるのでは。
図を示せなく解りずらくてご免なさいね。

お礼

お礼をするのが遅れてしまい、申し訳ございません。
　丁寧な証明をいただけて、本当に感謝しています。直角球面三角形の三つの定理がまだ十分に理解できていない状態なので、そこからやり直そうと思います。
　お答え、ありがとうございました！

回答No.2

torahuzuku

muratsukiさん、今日は。No1です。muratsukiさんは私などより数学に造詣が深く思われた事とスペースの関係で、直角球面三角形の公式の導出過程を省略させていただきました。蛇足とは思いますが導出過程を書きますので宜しければご参考にどうぞ。

いま直角球面三角形BAC(頂点B、底辺AC、の直角球面三角形を考えて下さい)において、C=π/2 とし、a＜π/2, b＜π/2 の場合について考えて見ます。Oを球の中心とし、
線分OB=1、線分OC上に、BD⊥OC、線分OA上に、DE⊥OA
とするとCが直角で有る事から、BD⊥平面AOC　従って
三垂線の定理により、BE⊥OA　∴∠BED=A
sinA=BD/BE=sin∠BOD/sin∠BOE=sina/sinc
cosA=DE/BE=(OE*tan∠DOE)/(OE*tan∠BOE)=tanb/tanc
tanA=BD/DE=(OD*tan∠BOD)/(OD*sin∠DOE)=tana/sinb
Bについても同様な公式が成り立つ。
また、cosc=OE/OB=(OD/OB)*(OE/OD)=cosa*cosb …(1)

以上です。ここからは先回に続きます。拙い説明と図が無いので分かり辛いでしょうが、何とかご理解頂けましたでしょうか？

お礼

またお礼が遅れてしまい、申し訳ございませんでした…。前の回答と照らし合わせて、ようやく理解することができました。自分の理解力の無さが情けないです…。
　重ね重ね、本当にありがとうございました！