正弦定理と余弦定理について

質問

正弦定理から余弦定理は導けるのですが、余弦定理から直接に正弦定理を出す導き方を教えてください。（参考書など調べてみましたが出ていませんでした）

回答No.5

kansai_daisuki · ベストアンサー

■正弦定理について：

　正弦定理から余弦定理を求めることが出来るのは、良いとして、その逆は理解しかねるかもしれません。

　即ち、余弦定理は、作図に基づく数式の定義とその計算によって求まります。けれど、正弦定理は、sinθの定義がそのまま定理になったようなものです。

　つまり、直角三角形において
sinA=(対辺)/(斜辺)
ですが、この三角形の直角の対辺が、外接円の直径(2r ; rは半径)と等価ですよね。また、角Aの対辺を辺aとおきます。すると、そのまま、
sinA=(対辺)/(斜辺)=a/2r
となります。これが、正弦定理そのものです。あとは、同様にして、
sinB=b/2r , sinC=c/2r
を求め、2rにおいて通分すれば、
a/sinA=b/sinB=c/sinC
ですよね。

　ここで、通分さえしなければ、正弦定理は計算の余地さえないほどのsinの定義そのものです。つまり、「余弦定理から、sinの定義を求める方法は？」と質問しているのと同様です。

No.4から、(sinA)^2+(cosA)^2=1
⇔(sinA)^2=(sinB)^2+(sinC)^2-2(sinB)(sinC)×cosA
と変換することは出来ますが、ここから余弦定理
a^2=b^2+c^2-2bc×cosA
まで求めるには、rを使う必要があります。そして、これは三角関数sinの定義（ひいては正弦定理）を使うことを意味します。

　では、どうするかと言えば、
a/sinA=b/sinB=c/sinC
なんですから、sinA=(a/b)sinBと変形できます。
次に、sinCは、sin(A+B)と変形できます。
よって、残るは、cを何とかしてつぶせばいいのですが、
c=a×cosB+b×cosA
と変形すれば良いですね。（でもこの式は使いたくないですね。同様に余弦定理を介さないで、
a×sinB=b×sinA
も導けるからです。これは、正弦定理そのままですからね。）

では、どうすれば良いか。余弦定理のみでcを消さねばなりません。

>■余弦定理：
>　a^2=b^2+c^2-2bc×cosA
>　b^2=c^2+a^2-2ca×cosB
>　c^2=a^2+b^2-2ab×cosC

ですから、順に式p,式q,式rとおき、式pと式qからc^2を消し、残ったc=...の式を式rに代入すれば、辺cがなくなり角Cも消せます。よって、上手く正弦定理が示せるでしょう。

　ただし、前述のように、sinの定義そのものを計算で導くというこの証明に、意味は無いと思いますが。。。

お礼

ご教示ありがとうございます。｛順に式p,式q,式rとおき、式pと式qからc^2を消し、残ったc=...の式を式rに代入すれば、辺cがなくなり角Cも消せます。よって、上手く正弦定理が示せるでしょう。｝やってみます。考察も大変勉強になりました。ありがとうございました。

回答No.4

kansai_daisuki

あ。間違えてました。
余弦から正弦ですよね。

(sinA)^2+(cosA)^2=1
⇔(2bc×sinA)^2+(2bc×cosA)^2=(2bc)^2
⇔(2bc×sinA)^2+(b^2+c^2-a^2)^2=(2bc)^2
⇔(2bc×sinA)^2=(2bc)^2-(b^2+c^2-a^2)^2

と、
sinA=sin(π-(B+C))=sin(B+C)
からb,cをつぶせば、導けそうですよね。

回答No.3

kansai_daisuki

正弦定理から余弦定理を求めているということで、No.2でも述べたように既に答えは手元にあるのでしょうけれど、質問ということで回答しておきます。

　意外とこういう問題は、そのときに授業で習っている高校生には、頭の体操（暇つぶし？）みたいで良いかも知れませんね。ただし、直接的な公式の導出のための証明ではないので、お役立ち度は下がりますが。

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■前提〔用語の定義〕：
三角形の３つの辺をa,b,c
それに対抗する３つの角をA,B,C
外接円の半径をrとおく。

■正弦定理：
　a/sinA = b/sinB = c/sinC =2r
■余弦定理：
　a^2=b^2+c^2-2bc×cosA
　b^2=c^2+a^2-2ca×cosB
　c^2=a^2+b^2-2ab×cosC

　ここで、「■正弦定理」→「■余弦定理」が示せたのですよね。
（※ここで、「Ａ→Ｂ」は、「ＡならばＢ」のこと。）
では、「■余弦定理」→「■正弦定理」を示します。

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　a^2=b^2+c^2-2bc×cosA
⇔(2r×sinA)^2=(2r×sinB)^2+(2r×sinC)^2-2(2r×sinB)(2r×sinC)×cosA
⇔(sinA)^2=(sinB)^2+(sinC)^2-2(sinB)(sinC)×cosA
　　　　　=(sinB)^2+(sinC)^2+(cos(B+C)-cos(B-C))×cosA
　　　　　=(sinB)^2+(sinC)^2+(cos(π-A)-cos(B-C))×cosA
　　　　　=(sinB)^2+(sinC)^2+(-cosA-cos(B-C))×cosA
　　　　　=(sinB)^2+(sinC)^2-(cosA)^2-(cos(B-C)cosA)
　　　　　=(sinB)^2+(sinC)^2-(cosA)^2-(cos(B-C)cos(π-(B+C)))
　　　　　=(sinB)^2+(sinC)^2-(cosA)^2+(cos(B-C)cos(B+C))
　　　　　=(sinB)^2+(sinC)^2-(cosA)^2+(cos(B-C)cos(B+C))
⇔(cosA)^2+(sinA)^2=(sinB)^2+(sinC)^2+(cos(B-C)cos(B+C))
ここで、
(左辺)=1
(右辺)=(sinB)^2+(sinC)^2+(cos(B-C)cos(B+C))
=(sinB)^2+(sinC)^2+(cos(B-C)cos(B+C))
=(sinB)^2+(sinC)^2+( (cosB)^2+(cosC)^2-1 ) ---(∵(式a)より。)
=( (sinB)^2+(cosB)^2 )+( (sinC)^2+(cosC)^2 ) -1
=1
以上より、(左辺)=(右辺)

∴題意は証明された。

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以下は、証明で引用した三角関数の公式：
■積和の公式より、
2cos(b-c)cos(b+c)=cos(2b)+cos(2c)
■２倍角の公式より、
cos(2b)=2(cosb)^2-1
cos(2c)=2(cosc)^2-1
■上記３式を合成して、
2cos(b-c)cos(b+c)=2(cosb)^2-1+2(cosc)^2-1
　　　　　　　　　=2( (cosb)^2+(cosc)^2-1 )
⇔cos(b-c)cos(b+c)=(cosb)^2+(cosc)^2-1　　　　---(式a)
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回答No.2

kansai_daisuki

正弦定理から余弦定理が導けるのであれば、
その証明文を逆から読んでみてください。

それが、余弦定理から正弦定理を導く方法です。

回答No.1

yumisamisiidesu

正弦定理→余弦定理が導けるなら
それを逆に辿ればいいと思います

そういうことをすることにどういう意味があるのかわかりませんが、
数学に興味を持つことがいいと思います