締切済み 一様分布 2005/07/15 10:50 「確率変数Xが(0,1)の範囲で一様分布に従う」 というのは確率密度fx(x)=xで0<x1と解釈していまってもいいのでしょうか? よろしくお願いいたします。 みんなの回答 (2) 専門家の回答 みんなの回答 sudoufu ベストアンサー率40% (6/15) 2005/07/16 02:06 回答No.2 一様の意味をきちんと理解していらっしゃるでしょうか? 一様とは英語でいうとuniformのことで同一や一緒という意味です。 そのことから考えると…… 参考URL: http://markun.cs.shinshu-u.ac.jp/learn/probability/i_08-03-01.html 通報する ありがとう 0 広告を見て他の回答を表示する(1) adinat ベストアンサー率64% (269/414) 2005/07/15 11:51 回答No.1 密度関数は fx(x)=1 in 0<x<1 fx(x)=0 otherwise です。 分布関数(累積密度関数)なら Gx(x)=0 in x≦0 Gx(x)=x in 0<x<1 Gx(x)=1 in x≧1 です。 通報する ありがとう 0 カテゴリ 学問・教育数学・算数 関連するQ&A 一様分布について 確率変数Xが(0,1)の範囲で一様分布に従う時、Y=1-Xと変換すれば Yはまた一様分布になることを示せ という問題で確率変数Xの確率密度をfx(x)、確率変数Yの確率密度をfy(y)として「確率分布関数の微分は確率密度」の定義より確率変数X,Yの確率分布関数が等しいので確率変数Xが(0,1)の範囲で一様分布に従う時、Y=1-Xと変換すればYはまた一様分布になる。 と証明したのですが解き方として間違いはないでしょうか? ご教授願います。 和の分布 確率変数X1,X2,X3,X4がそれぞれ独立に一様分布U(-1,1)(-1と1の間の値を等確率密度でとる分布関数)に従うとき、すぐ上のことを使って, X1+X2, X1+X2+X3, X1+X2+X3+X4 の確率密度関数を求めよ。 が解けません。 だれかお時間のあるかた、ご指導お願いします。 2変量の確率分布について 統計学の勉強をしています。一様分布における2変量の確率変数についてわからなくなったので質問させてください。 一様分布の確率密度関数はfx(x)=1/(b-a)ですが、b=1,a=0とするとfx(x)=1となりますよね。 このことを踏まえて2変量t=x+y(yもxと同様の一様分布の確率でxとyは独立)を定義して、その確率密度関数はf(t)=∫fx(x)fy(t-x)dxで与えられますよね(ここで間違っていたならすみません…) そこでこの関数にfx(x)=1,fy(y)=1を代入して∫範囲を0から1(dxで積分ですから)に設定して積分をするとf(t)=1となってしまいました。 このままtにおいてtの期待値を求めると∫(0,2)tf(t)dt=2となりました。(積分範囲はdtについてですから0から2までとしました) しかし、よく考えてみると0から2までの範囲の一様分布でその期待値となるのは普通1じゃないかと思います。 計算が間違っているのか、そもそも考え方が違うのか、わかる方がいらっしゃったら、ご教授していただけませんでしょうか?よろしくお願いします。 指数分布について 確率変数Xが次のような密度関数をもつ指数分布に従っているとき 密度関数 f(x)=3exp(-3x) t≧0 =0 t≦0 このとき 確率変数U=exp(-3X)と定義するときに、Uの従う分布はどうなるかを求めたいのですが、どうすればよいのでしょうか?? まずUの分布関数を求めて、微分をしようとしているのですが。 P(U<x)=P(exp(-3X)<x)=P(T>-1/3logx) このときの積分範囲は0からになるのでしょうか?? そうするとUの分布関数は1になり、密度は0になるということでしょうか? 均等分布された確率変数から密度を求める? X1,X2, ..., Xnは [0, a]で均等分布された確率変数である。 Y=X+2Yの密度を求めよ。 難しすぎて分かりません。 どなたか教えて頂けないでしょうか? 【指数分布】確率変数の和 X1,X2,...,Xnは互いに独立な確率変数であり、 それぞれ指数分布 f(x)=1/λ*exp(-x/λ) (x>0) に従います。 確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の確率密度関数をfk(x) とするとき、 (1)fk(x)=∫[0,∞]fk-1(x-t)f(t)dt (x>0) を示せ。 (2)fn(x)を求めよ。 (3)確率変数 Yk=X1+X2+...+Xk の期待値、分散を求めよ。 との問題なのですが、 (1)について、 XとYが独立であるとき、Z=X+Yの確率密度関数fZ(z)は 畳み込み積分で与えられるので、 fZ(z)=∫[-∞→∞]fX(x)fY(z-x)dx を...と考えたのですが 上手く証明ができません。 また、(2)について、 指数分布が事象が起きる時間間隔が従う分布だということから 要は、n回の事象が起きるまでの時間と考え、 fn(x)=n/λ だとは思うのですが、よくこれは特性関数から計算すれば良いのでしょうか... どなたか数学に詳しい方が居られましたら、 ご教授のほどよろしくお願いいたします。 確率分布 大学の授業でこんな問題が出ました。 確率変数X1,X2はお互いに独立であり、それぞれが平均1/s1.1/s2の指数分布に従う。 X=min(X1,X2)と定義するとき、確率変数Xが従う確率分布を求めよ。 確率・統計の問題です 以下の問題の解答をお願いします。 連続確率変数Xの累積分布関数はFx(x) = P{X≦x}で与えられる。区間[0, 1]で定義された、二つの独立な確率変数X1, X2の累積分布関数Fx1(x), Fx2(x)が図で与えられるとき、以下の問いに答えよ。 Y=X1+X2とおくと、Yの累積分布関数Fy(y)はX1,X2の結合密度関数f12(x1, x2)を用いて Fy(y) = ∫[-∞→∞] ∫[-∞→y-x1] f12(x1, x2)dx2dx1 で与えられる。このことを利用してYの確率密度関数fy(y)を求め図示せよ。 一様分布の確率密度関数【応用】 確率変数Xが[1,2]で一様分布に従うとします。つぎに、確率変数Yが[0,2X]で一様分布に従うとします。このとき、Yの確率密度関数はどのように求めたらよいのでしょうか? 条件付き密度関数を求める 確率変数X1とX2はそれぞれを指数分布a1とa2に従って、確率変数X3={X1|X1<X2}によって定める。このとき、確率変数X3の密度関数を求める。 確率分布について 確率変数X1,X2,X3......Xnは独立同分布で一様分布U(0,1)に従い、X=min(X1,X2,,,Xn)、つまり標本最小値であるとき Y=max(X1,X2,,,,Xn)、つまり標本最大値はどのような分布に従うのでしょうか?どのような考え方をしたらよいのか教えてください。 よろしくお願いします。 分布関数の問題 以下の問題の答えがわかりません。詳しい解説をお願いします。 X1、X2を互いに独立に同一の指数分布に従う確率変数とし、その分布関数をF(x)=1-e^(λx)とする。 1. Z = 2・X1 の分布を求めよ 2. U = X1 + X2 の分布を求めよ 3. V = X1 - X2 の分布を求めよ 4. W = | X1 - X2 | の分布を求めよ よろしくお願いします。 正規分布+指数分布 確率変数の和の分布について、教えて下さい! Xは平均μ、標準偏差σの正規分布に従うとします。 Yは平均 1/λ の指数分布に従うとします。 このとき、X+Yの従う確率分布を求めることは出来ますか? Xは全ての実数に対して定義されていて、Yは正の実数に対して定義されていると思うのですが、和の分布を考えても良いのでしょうか? また、その確率密度関数はどのようになるのでしょうか? 会社で読まされている電気関係の資料に出てきたのですが、大学時代に統計をきちんと勉強してこなかったので困ってます。 宜しくお願いします。 確率変数、分布関数と密度関数について 独学で統計学を勉強していますが、解法がわからず煮詰まってしまい、困っている問題がありますので、質問させていただきます。 確率変数XがX~U[0,1]のとき (1)確率変数Z=5Xの分布関数、密度関数を求めよ。 (2)確率変数Y=X^2の分布関数を求めよ。 よろしくお願いいたします。 カイ二乗分布 確率変数Xが自由度nのカイ二乗分布に従うとき φ(t) = E(e^(tX))を求めよ という問題に取り組んでいます。 以下のように考えました。 Xがカイ二乗分布に従うので X = X1^2 + X2^2 + X3^2 + ... + Xn^2 とおけば E(e^(tX)) =E( e^(t(X1^2 + X2^2 + X3^2 + ... + Xn^2 ))) =E(Π(1->n) e^(t(Xi^2)) ) = Π(1->n) E( e^(t(Xi^2)) = (∫(-∞->∞) e^(tx^2) f(x) dx )^n (ここでf(x) は標準正規分布N(0 1)の確率密度関数) = (∫e^(tx^2) * (1/√(2π)) e^(-x^2) dx ) ^n とここまで計算できたのですが、 この後が計算できません。 ネット上で調べたのですが、カイ二乗分布の積率を求めるときは たいてい、カイ二乗分布の確率密度関数を使っています。 上記の計算で 解きたいのですが アドバイスをいただけないでしょうか。 お願いします。 確率変数の変換について(2つの確率変数の和) 毎々お世話になっております. このたびは,2変数の確率変数の変換について質問させていただきます. [問] X1およびX2はi.i.d.でそれぞれ[0,1]の区間で一様に分布している. Y=X1+X2の確率密度関数を求めなさい. 上記の問いに関してですが, X1,X2の密度関数はf(xi)=1 for 0<=Xi<=1 i=1,2 であり, 同時確率はf(x1,x2)=1 for 0<=x<=1 であるというところまでは分かりました. また,X1=Y-Z,X2=Zとすることで,ヤコビヤンJ=1であるというとろこまではできました. しかし,これ以降,どのように考えれば良いのかが分かりません. 直感的に,X1とX2が一様に分布しているために,Y=X1+X2は0<=y<=2の範囲に分布し, y=1のときにg(y)が最大になるのであろうと考えられ, g(y)=y for 0<=y<=1 g(y)=2-y for 1<y<=2 1という確率密度関数になるであろうことは分かります. このような考え方が正しいかどうかも含めて,この問題の解法をご教示いただけないでしょうか? 何卒よろしくお願いいたします. 標準正規分布について 1)標準正規分布に従う乱数を、平均μ、分散σ^2の正規乱数に変換したい。どのようにしたらいいか。その理由も考えよ。 という問題についてですが 乱数をXとした時 Y = X・σ + μ とする。 というのはわかるのですが(ほぼ公式なので。。。) 理由についてはどう書けばいいのでしょうか? また 2)確率変数Xが(0,1)の範囲で一様分布に従う時、Y=1-Xと変換すれば、Yはまた一様分布となることを示せ。 という問題なのですが Xの密度関数から1-Xの密度関数を求めるということは以前こちらで教えていただいたのですがヘビサイド関数というのが用いられていて解法をよく理解できませんでした。 実際の解法手順等含めまして丁寧に教えていただけませんでしょうか?よろしくお願いいたします。 確率密度関数を求める問題 確率変数X1,X2が独立で区間[0, 1]における一様分布に従うとき, 確率変数T = max{X1, X2}の確率密度関数fT(t)を求めよ. という問題があるのですが,どのように考え出せばいいのかわかりません. T = X1 + X2といった形式ならわかるのですが,maxとなるとどうすればいいんでしょうか? どのような方針で解いていけばいいのか教えてください. [統計学]カイ2乗分布 カイ2乗分布について多くの入門的教科書では、 > 確率変数 X1, X2 が正規分布 N(0,1) に従うとき、 > Y = X1^2 + X2^2 で与えられる確率変数 Y はカイ2乗分布となり、 > 以下の式で表される: > (分布関数) のような説明がなされていると思います。 このとき、X1, X2 が異なる正規分布 N(e1, v1), N(e2, v2) に従う場合には、 そのカイ2乗分布はどのような式で与えられるのでしょうか。 (e = X の平均値, v = X の分散) おそらく簡単すぎるために、説明が省かれているのだろうと思うのですが、 自分にとっては簡単ではありません。 詳しく載っている書籍・ウェブサイトを挙げるだけでも構いませんので、 御教示お願いいたします。 統計学での確率変数Xと観測値xの使い分けについて 全く別物だと思うのですが、理解できなくて質問いたします。 確率変数Xは、その値をとる確率が決まっている変数であり、 観測値xは、ただ実際に出現した値、であることは理解しています。 確率密度関数では横軸が確率変数であり、Pr(X)の値が縦軸である、というのがわかりやすかったです(以下ブログを参考)。 https://bellcurve.jp/statistics/blog/14006.html 1)しかし、この考えでは次のブログのことを理解できませんでした。 http://igakubugakushi.com/ctl1/ 互いに独立であり、同一分布に従う確率変数X1、、、Xnとあります。1つの確率密度関数には、複数の観測値xを決まった確率で取りうる確率変数Xが1つある理解でした。1つの確率密度関数に複数の独立の確率変数があるというのはどういうことでしょうか。 2) また、同じブログの「母集団が正規分布だった場合」 http://igakubugakushi.com/interval-estimation1/ X1~N(μ、σ²) : Xn~N(μ、σ²)とすると、正規分布の再生性により、 x1~+xn~N(nμ,nσ²) よって、x⁻(観測値xの平均)~N(μ,σ²/2) との記述があります。複数の確率密度関数が同じ正規分布に従っている、のは一先ずおいておくとして、そのあとの正規分布を再生する観測値x1~xnは、どの確率分布から出てきたものなのでしょうか? 3)また、2)で出てきた、x1~+xn~N(nμ,nσ²) → x⁻(観測値xの平均)~N(μ,σ²/2) になるのはなぜでしょうか?x⁻~N(μ、σ²)ではないですか?(nで全てを割るのであれば) ただのブログの書き間違えなのか、私がよくわかっていないのかわからず、解説いただきたいです。