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距離空間の完備

  • 質問No.1430760
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お礼率 0% (0/5)

距離空間(X、d)=Rでコーシー列{Xn}がRの元に収束すればRは完備となることを示せ。
なんですがコーシー列は収束列⇔Rは完備距離空間は同値なんですよね?ってことはコーシー列は収束列であるってことを示せばいいだけなんですか?
もし違っていたら詳しい説明をお願いします。

回答 (全3件)

  • 回答No.3

ベストアンサー率 25% (59/236)

>コーシー列{Xn}がRの元に収束すれば
という部分は
>コーシー列{Xn}がXの元に収束すれば
ということでしょうか?

コーシー列⇒収束列の証明は
0<ε<1,|xn-xm|<ε⇒xn=xmでいいんじゃないでしょうか
  • 回答No.2

ベストアンサー率 25% (59/236)

完備の普通の定義は質問者様の言うとおりでいいかもしれませんが、それを証明しろという問題があるなら、その教科書で特別に別の定義があるかもしれません
完備の場合はどうか分りませんが、たまに定義の仕方がいくつもあるものがあります
(ex 実数の連続性の公理など)
補足コメント
yellowmonky

お礼率 0% (0/5)

すいません。離散空間でした…
離散空間:ρ(x、y)={0(x=y)、1(x≠y)}なのでコーシー列{xn}=1、…、0、1、…となり1に収束するのでこの空間は完備である。
でどうでしょう?
投稿日時:2005/06/05 22:48
  • 回答No.1

ベストアンサー率 25% (59/236)

完備の普通の定義は質問者様の言うとおりでいいかもしれませんが、それを証明しろという問題があるなら、その教科書で特別に別の定義があるかもしれません
完備の場合はどうか分りませんが、たまに定義の仕方がいくつもあるものがあります
(ex 実数の連続性の公理など)
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