関数空間の閉包の話です。

質問

関数空間の閉包の問題です。
記号として,Rは実数,Cは複素数として
C(R)={f:R→C;連続}
C_b(R)={fはC(R)の元;fは有界}
C_c(R)={fはC(R)の元;fの台がコンパクト}
のようにします。

このとき,C_c(R)の(C_b(R),d)における閉包はどのような関数の族であるか？
具体的にもとめよ。
という問題です。
dはsupノルムで(C_b(R),d)が完備な距離空間であることは示せました。
よろしくお願いします。

回答No.2

muturajcp

R=(全実数)
C=(全複素数)
C(R)={f:R→C;連続}
C_b(R)={f∈C(R);fは有界}
C_c(R)={f∈C(R);fの台がコンパクト}
BをC_c(R)のC_b(R)における閉包とする
A={f∈C(R);lim_{|x|→∞}f(x)=0}
とする
f∈A
とする
自然数nに対して関数
g_n:R→C
を
x≦-n-1..→g_n(x)=0
-n-1<x<-n→g_n(x)=(1+n+x)f(-n)
-n≦x≦n.→g_n(x)=f(x)
n<x<n+1..→g_n(x)=(1+n-x)f(n)
x≧n+1...→g_n(x)=0
と定義すると
lim_{x→-n-1}(1+n+x)f(-n)=0
lim_{x→-n}(1+n+x)f(-n)=f(-n)
lim_{x→n}(1+n-x)f(n)=f(n)
lim_{x→n+1}(1+n-x)f(n)=0
だから
g_nは連続で
x<-n-1又はx>n+1のときg_n(x)=0だから
g_nの台は[-n-1,n+1]で
[-n-1,n+1]はコンパクトだから
g_n∈C_c(R)
f∈Aだから
lim_{|x|→∞}f(x)=0
だから
任意のε>0に対して
あるK>1が存在して
|x|>Kとなる任意のxに対して
|f(x)|<ε/2
だから
n>Kとなる自然数nが存在する
x≦-n-1のとき|x|≧n+1>n>Kだから
|g_n(x)-f(x)|=|f(x)|<ε/2<ε
-n-1<x<-nのとき|x|>|-n|=n>Kだから
|g_n(x)-f(x)|=|(1+n+x)f(-n)-f(x)|≦|f(-n)|+|f(x)|<ε/2+ε/2=ε
-n≦x≦nのとき
|g_n(x)-f(x)|=0<ε
n<x<n+1のとき|x|>n>Kだから
|g_n(x)-f(x)|=|(1+n-x)f(n)-f(x)|≦|f(n)|+|f(x)|<ε/2+ε/2=ε
x≧n+1のとき
|g_n(x)-f(x)|=|f(x)|<ε/2<ε
任意の実数xに対して
|g_n(x)-f(x)|<ε
だから
|g_n-f|<ε
↓
f∈B
∴
A⊂B…(1)

逆に
f∈B
とすると
任意のε>0に対して
|h-f|<ε
となるh∈C_c(R)が存在する
hの台はコンパクトだから
|x|>K→h(x)=0
となるようなK>1が存在する
|x|>Kとなる任意の実数xに対して
|f(x)|=|h(x)-f(x)|<ε
だから
lim_{|x|→∞}f(x)=0
↓
f∈A
↓
B⊂A
↓これと(1)から
B=A
={f∈C(R);lim_{|x|→∞}f(x)=0}

回答No.1

ramayana

(C_b(R),d) の説明がありませんが、「C_b(R) に sup ノルムによる距離を入れて構成された距離空間」との理解でいいでしょうか？ 以下、その前提です。

f(x) = 1 （恒等的に 1 ）としたときに、この f は、 C_c(R) の閉包に含まれますか？（ C_c(R) に属する関数の列で f に収束するものがありますか？）

f(x) = exp(x^(-2)) ならどうですか？

いくつか具体的な関数をいじると、「|x|→∞ のとき |f(x)| → 0 」かどうかが鍵だと見えてくるのではないかと思います。