面積の差を足し算で表現すると

質問

今一辺がａである正方形を考え，子の正方形の中に一辺がｂである小さい正方形を考えると，二つの正方形の差は
ａ＾２-ｂ＾２となりますが、これをａ＾２+（ｂｉ）＾２として大きい方の正方形の中の長さを虚数にすると足し算になりますが，他の図形でも中の長さを同様に表現して二つの面積の差を足し算の形で考えることは可能でしょうか。

回答No.2

pyon1956 · ベストアンサー

相似な平面図形なら皆同じようにできますが。

問題はなぜそうするのか、ということです。数学的な形式はあくまで何かの意味をあらわすためにある、いわば数学という言語でもあるのですが、
この例でそう考えると何がわかるのでしょうか？

測度論あたりでの展開を考えるのならともかく、正方形の面積はもともと実数ですから、それをわざわざ虚数を用いて表現することの意味は何でしょう？

たとえば立方体について考えみてください。話としては似たような展開がありそうですが、どうみても体積の差は虚数とは関係なさそうです。たまたま正方形があてはまるだけ、という状況だとただの偶然にすぎないことになります。
数学は適当な思いつきを考えるのではなく、あくまで意味をともなっているものだと愚考する次第です。

お礼

ご教示有難うございます。たとえば正方形の中の距離が虚数であるような仮想的世界は考えられないでしょうか。また負の面積というものが定義できないでしょうか。

回答No.3

grothendieck

ａ^２-ｂ^２をａ^２+（iｂ)^２ で置き換えることは重要な意味を持っています。場の量子論ではこれは時間を虚数に解析接続してミンコフスキー空間での面積をユークリッド空間の面積に写すことに相当し、Wick rotationと呼ばれています。Wick rotationによりファインマンの経路積分が定義できるようになり、場の量子論において不可欠なものになっています。googleなどでEuclid,Wick,rotationをキーワードにして検索すると多数hitします

お礼

専門的には意味があるようですが私の疑問は素朴なものですので現在のところ高嶺の花のようです．勉強の励みにさせて頂きます．有難うございました．

回答No.1

パんだ パンだ（@Josquin）

可能でしょうけど、どういう意味があるんですか？
逆に質問したいです。

お礼

ホーキングの虚時間のような虚距離というようなものを定義できないでしょうか。関連して負の面積などはだめでしょうか。