極小曲面の表面積

質問

一辺が10の正方形ABCDが地面に置かれています。
Aから長さ1の棒を立てます。
Bから長さ4の棒を立てます。
Cから長さ3の棒を立てます。
Dから長さ2の棒を立てます。
隣合う棒の先を辺で結びます。
上底に極小曲面を作ります。
極小曲面とは与えられた境界条件に対し面積を極小・最小にするような曲面である。

このような図形の上底の面積や全体の体積はもとめられるのでしょうか？

回答No.6

gef00675

極小曲面は、応用上重要で、これ専門に研究している人がいるぐらい難しい問題です。
極小曲面の満たすべき方程式
(1+(z_y)^2)*z_xx-2*z_x*z_y*z_xy+(1+(z_x)^2)*z_yy=0
の解は、境界条件が単純な場合でも、一般に簡単な式では表せないことが多いです。ご質問の境界条件に対する解答
z=-0.02xy+0.3y+0.1x+1
は、曲面の高さの変化に比べて、正方形の辺の長さが十分に大きい場合の近似式と思ってください。

　直感的には、上面の２つの辺の上の２点から糸をピンと張ったときにできる曲面が最小の面積になるだろうということですが、問題はどの点からどの点へ糸を張るとよいかということで、そこが説明しにくいのです。

回答No.5

gef00675

訂正です。何度も間違えてすみません。上底の面積は
S=∬√(1+(0.02y-0.1)^2+(0.02x-0.3)^2)dxdy
でした。

回答No.4

gef00675

＃３の訂正です。辺の長さは１０だったので、
z=-0.02xy+0.3y+0.1x+1
でした。面積は
S=∬√(1+(0.2y-1)^2+(0.2x-3)^2)dxdy
となります。

回答No.3

gef00675

変分法を使いましょう。
曲面をz=z(x,y)　(0≦x,y≦10）,
z_x=∂z/∂x,　z_y=∂z/∂y,　
L(z_x,z_y)=√(1+z_x^2+z_y^2)
とおくと、曲面積は
S=∬Ldxdy
で、Sが極小となるとき、変分δSは0です。
L1=∂L/∂z_x=z_x/L,
L2=∂L/∂z_y=z_y/L
とおいて変分を計算すると、
δS=∬δLdxdy=∬{L1δz_x+L2δz_y}dxdy
=∬{L1(∂δz/∂x)+L2(∂δz/∂y)}dxdy
=∬{∂/∂x(L1δz)+∂/∂y(L2δz)-(∂L1/∂x+∂L2/∂y)δz}dxdy
第１項と第２項はグリーンの定理によって、
∬{∂/∂x(L1δz)+∂/∂y(L2δz)}dxdy=∫L1δzdy-L2δzdx
となるが、境界上ではδz＝０．よって、
δS=-∬(∂L1/∂x+∂L2/∂y)δzdxdy=0
これが任意のδzに対して成り立つためには、
∂L1/∂x+∂L2/∂y=0
でなければならない。これをzの偏導関数で表すと、
z_xx+z_yy+(z_y)^2*z_xx-2*z_x*z_y*z_xy+(z_x)^2*z_yy=0
この方程式の解で、境界条件を満たす解は、
z=-2xy+3y+x+1
これが上底をあらわす曲面の式になります。
（これは回答＃１の方の示した曲面と同じです）
曲面積Sを求める二重積分の計算は、少々やっかいです。
∫√(1+x^2)=(1/2)*(x√(1+x^2)+log(x+√(1+x^2))
の公式を使えば、一回の積分はできますが。。。

お礼

ありがとうございます。
曲面は結局、z=-2xy+3y+x+1になり、xz平面と平行な平面による切断面は、台形になるのですね。
そのことは直感的に示せるのでしょうか？

回答No.2

dreamnstd

強引に積分するのが手っ取り早いかと思います。

まず、その立体の頂点 A を原点とした三次元直交座標系を考えます
(D,B,高さの方向をそれぞれx,y,zとします)

立体を任意のzy平面で切ると、その断面は台形になっています。
各頂点の棒の高さが判っており、その上面は最小曲面になっていることから、少なくとも頂点間は直線で結ばれているはずです。
なので、任意のx座標での断面積は
向かって右の辺の高さ： 1 + x/10 [m]
向かって左の辺の高さ： 4 - x/10 [m]
断面積 = （上辺+底辺）* 高さ / 2
なので（今は向かって右と左ですが）代入すると
= ( ( 1 + x/10 ) + ( 4 - x/10 ) ) * 10 / 2
= 5 * 10 / 2 = 25 [m^2]
（ a^b は「 a の b 乗」です）
あら、 x が消えてしまいましたね。
これは何所で切っても面積が25[m^2]みたいです。
構わず x で積分すると、
V = ∫(0,10) 25 dx = 250 [m^3]
(∫(a,b)は、 a から b までの定積分です。)
と、体積が求まりました。

難しいのは上面の面積です。
任意の x 座標での yz 断平面の上辺の長さ L は、三平方の定理より
L^2 = 底辺の長さ^2 + 左右の辺の長さの差^2
= 10^2 + ( (1 + x/10) - ( 4 - x/10 ) )^2
= 100 + ( -3 + x/5 )^2
= (x^2)*(1/25) -x*(6/5) +91
なので
L = √(x^2 * (1/25) -x*(6/5) +97) [m]
これを x = 0 から x = 10 まで積分すれば面積が求まると思います。

ただ、これはかなり強引にやっているのでひょっとするともうちょっとスマートな解法があるかもしれません。
上の式なんて積分できるのかどうかも怪しいですし、参考程度に。

お礼

ありがとうございます。
当方も検証してみますが、どなたかも検証と表面積の計算をお願いいたします。

補足

>立体を任意のzy平面で切ると、その断面は台形になっています。

すみませんが、根拠なし。

回答No.1

Kules

こんな単純な話ではないのかも知れませんが…
ＡＢＣＤの上に立てられた棒の上端をＡ’Ｂ’Ｃ’Ｄ’とし、ＡＢ，ＡＤ，ＡＡ’をそれぞれｘ、ｙ、ｚ軸に取ると、
直線Ａ’Ｂ’：ｙ＝０、ｚ＝０．３ｘ＋１
直線Ｄ’Ｃ’：ｙ=１０、ｚ＝０．１ｘ＋２
と表せます。ここで
Ｅ、Ｆをそれぞれ直線Ａ’Ｂ’直線Ｄ’Ｃ’上でｘ＝Δｘとなる点だとすると、Ａ’ＥＦＤ’を通る微小曲面を考えたとき面積最小となる図形は長方形ＡＥＦＤであるはずです。よって、
ＥＦをＡ’Ｂ’上、Ｄ’Ｃ’上をｘ座標をそろえて動かすことを考えると｜ＥＦ｜はｘの関数となり、所望の面積は
∫(ｘ＝０→１０)｜ＥＦ｜ｄｘ
となると思われます。
参考になれば幸いです。