この連立方程式を解くには。

質問

物理の方でも同じ質問をしたのですが、いい回答がこないので、数学のほうで聞いてみることにしました。フックの法則は一般の3次元の場合に拡張すると、等方体では、
εｘ=1/E｛σx-v(σy＋σｚ)｝
εｙ=1/E｛σｙ-v(σｘ＋σｚ)｝
εｚ=1/E｛σｚ-v(σy＋σｘ)｝となりますよね。
で、これを解いて、σｘ、σｙ、σｚを求めなくてはならないのですが、（応力をひずみで表すという事）どうもうまくいかないのです。

一晩色々な本を調べて、G＝E/2(1+v)と、E=３Gというのは分かり、解いた答が、
e=εｘ+εｙ+εｚとして
σｘ＝１/1＋ｖ（εｘ＋ｖe/1-2v）
σｙ＝１/1＋ｖ（εｙ＋ｖe/1-2v）
σｚ＝１/1＋ｖ（εｚ＋ｖe/1-2v）
となるとこまで分かったのですが・・・。
この計算過程が分かる方、どうか教えてください。

回答No.3

sunasearch · ベストアンサー

Eを左辺に移して、全部の式を加えると、
Ee = σx+σy+σｚ -2v(σx+σy+σｚ) = (1-2v)(σx+σy+σｚ)

より、σx+σy+σｚ = Ee/(1-2v) (1)

最初の式から、
σy+σｚ = (σx-Eεｘ)/v

これを式(1)に代入して、
σx + (σx-Eεｘ)/v = Ee/(1-2v)

両辺をv倍して、
σx(v+1) - Eεｘ = Eev/(1-2v)

σx(v+1) = Eev/(1-2v) + Eεｘ = E(εｘ＋ｖe/(1-2v))

よって、
σx = E/(1+v) × (εｘ＋ｖe/(1-2v))

回答No.2

sunasearch

#1です。物理のほうも見てきました。

ちなみに、上の式を解くと、
E/(1+v) × (εｘ＋ｖe/(1-2v))
になります。

式は３つですから、σｘ,σｙ,σｚの３つの変数に加えて、別の文字Eを消すことはできません。

補足

丁寧な回答ありがとうございます。早速参考にさせていただき考えたのですが、(1)の式から、σy+σz=... という式を導いて、式(4)に代入したところからどうしても解けないのです。ホント、バカで申し訳ないのですが、この辺のところもう少し詳しく教えていただけないでしょうか。お願いいたします。

回答No.1

sunasearch

εｘ=1/E｛σx-v(σy＋σｚ)｝(1)
εｙ=1/E｛σｙ-v(σｘ＋σｚ)｝(2)
εｚ=1/E｛σｚ-v(σy＋σｘ)｝(3)

この３つの式を使って、
σx+σy+σｚ=...という式(4)を作った後、

(1)の式から、σy+σz=... という式を導いて、
式(4)に代入して、σxについて解けばよいかと思います。

σy,σｚについても、同様に、式(2)、式(3)を式(4)に代入してみて下さい。