3元連立2次方程式解けません！！

質問

3次元空間において，ある点Ｐ（X，Y，Z）が存在するとき，
点A（x_1，y_1，z_1），点B（x_2，y_2，z_2），点C（x_3，y_3，z_3），点D（x_4，y_4，z_4）と
各点から点Ｐまでの距離ＰＡ=d_1，ＰＢ=d_2，ＰＣ=d_3，ＰＤ=d_4 を用いて
点Ｐの座標を表したいのですが，なかなかそれらしい式にまとまりません．．

ちなみに立式すると以下のようになります．
変数はＸ，Ｙ，Ｚでその他は定数とします．
変数が3つの場合連立式は3つでよかったような気がするのですが
一応4つの式が出来上がったので並べておきます．

d_1=√（x_1-X）^2+(y_1-Y)^2+(z_1-Z)^2
d_2=√（x_2-X）^2+(y_2-Y)^2+(z_2-Z)^2
d_3=√（x_3-X）^2+(y_3-Y)^2+(z_3-Z)^2
d_4=√（x_4-X）^2+(y_4-Y)^2+(z_4-Z)^2

上記の式をＸ，Ｙ，Ｚについて解いていただきたいです．
よろしくお願いします．

回答No.1

alice_44 · ベストアンサー

(d_1)^2 = (x_1 - X)^2 + (y_1 - Y)^2 + (z_1 - Z)^2　…[1]
(d_2)^2 = (x_2 - X)^2 + (y_2 - Y)^2 + (z_2 - Z)^2　…[2]
(d_3)^2 = (x_3 - X)^2 + (y_3 - Y)^2 + (z_3 - Z)^2　…[3]
(d_4)^2 = (x_4 - X)^2 + (y_4 - Y)^2 + (z_4 - Z)^2　…[4]
から２式の組を３組取り出して、辺々引き算すれば、
X^2, Y^2, Z^2 の項が消えて、X, Y, Z の一次式が３本できます。
これを３元３連立一次方程式と見れば、X, Y, Z が決まります。

例えば、[1] - [2] で
2(x_1 - x_2) X + 2(y_1 - y_2) Y + 2(z_1 - z_2) Z = (x_1)^2 - (x_2)^2 + (y_1)^2 - (y_2)^2 + (z_1)^2 - (z_2)^2 - (d_1)^2 + (d_2)^2
とか、そんな感じ。あと、[2] - [3] と [3] - [4] で３本とか。

そうして得られた X, Y, Z は、単なる必要条件ですから、
最後に [1] ～ [4] のどれか１本へ代入して、
解であることを確認しておかねばなりません。
好き勝手に d_1 ～ d_4 を与えると、解が存在しない場合もありますから。