連立方程式

質問

この連立方程式解ける人いませんか？

a/b + c/d + e/Z = (1/Y^2)(b/a + d/c + Z/e)
a/f + c/g + 1/(e*Y) = (1/Z^2)(f/a + g/c +eY)

a,b,c,d,e,f,g:定数
YZ:未知数

回答No.1

Knotopolog · ベストアンサー

もう用済みかも知れませんが，解法を書き込みます．

a/b＋c/d＋e/Z＝(1/Y^2)(b/a＋d/c＋Z/e)　・・・（１）

a/f＋c/g＋1/(e*Y)＝(1/Z^2)(f/a＋g/c＋eY)　・・・（２）

（１），（２）を簡単な式にするために，

a/b＋c/d ＝A　　・・・（３）
b/a＋d/c ＝B　　・・・（４）

a/f＋c/g ＝C　　・・・（５）
f/a＋g/c ＝D　　・・・（６）

とおきます．すると，与えられた連立方程式は，

A＋e/Z＝(1/Y^2)(B＋Z/e)　・・・（７）

C＋1/(e*Y)＝(1/Z^2)(D＋eY)　・・・（８）

となります．（７）と（８）を変形すると，

(A＋e/Z)Y^2＝B＋Z/e　・・・（９）

[C＋1/(e*Y)]Z^2＝D＋eY　・・・（１０）

です．更に変形すると，

Y＝±√[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)]　・・・（１１）

[C(eY)＋1]Z^2＝(eY)(D＋eY)　・・・（１２）

となります．（１１）の Y を（１２）に代入すると，

[(±e√[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)])C＋1]Z^2＝
＝(±e√[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)])(D±e√[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)])　・・・（１３）

です．（１３）を変形すると，

[(±e√[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)])C＋1]Z^2＝
＝(±e√[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)])D＋e^2[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)]　・・・（１４）

(±e√[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)])CZ^2＋Z^2＝
＝(±e√[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)])D＋e^2[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)]　・・・（１５）

(±e√[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)])(CZ^2 －D) ＋Z^2＝e^2[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)]　・・・（１７）

(±e√[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)])(CZ^2 －D)＝e^2[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)] －Z^2　・・・（１８）

この（１８）の両辺を２乗すると，

e^2[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)](CZ^2 －D)^2＝(e^2[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)] －Z^2)^2　・・・（２０）

この式の両辺に (A＋e/Z)^2 を乗ずると，

e^2(A＋e/Z)^2[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)](CZ^2 －D)^2＝
＝(A＋e/Z)^2 (e^2[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)] －Z^2)^2　・・・（２１）

e^2(A＋e/Z)(B＋Z/e)(CZ^2 －D)^2＝
＝(e^2(A＋e/Z)[(B＋Z/e)/(A＋e/Z)] －(A＋e/Z)Z^2)^2　・・・（２２）

e^2(A＋e/Z)(B＋Z/e)(CZ^2 －D)^2＝
＝(e^2(B＋Z/e) －(A＋e/Z)Z^2)^2　・・・（２３）

両辺へ Z を乗ずると，

e^2Z(A＋e/Z)(B＋Z/e)(CZ^2 －D)^2＝
＝Z[e^2(B＋Z/e) －(A＋e/Z)Z^2]^2　・・・（２４）

e^2(AZ＋e)(B＋Z/e)(CZ^2 －D)^2＝
＝Z[e^2(B＋Z/e) －(A＋e/Z)Z^2]^2　・・・（２５）

e^2(AZ＋e)(B＋Z/e)(CZ^2 －D)^2＝
＝Z[e^2(B＋Z/e) －(AZ^2＋e)]^2　・・・（２６）

この（２６）は，Z に関して，６次代数方程式になりますから，一般的には解けません．
しかし，仮に，解けてとして，その解を，

Z＝ω(A,B,C,D,e)　・・・（２７）

とすると，連立方程式（７）（８）の解は（１１）と（２７）で，Y, Z が与えられることになります．
すなわち，

Y＝±√[(B＋ω(A,B,C,D,e)/e)/(A＋e/ω(A,B,C,D,e))]　・・・（１１）
Z＝ω(A,B,C,D,e)　・・・（２７）

が，与えられた連立方程式の解です．

（計算の流れは以上のようになりますが，計算違いがないかどうか確かめて下さい．）