レンズのフーリエ変換作用

質問

レンズのフーリエ変換作用とは何かわかりやすく教えて下さい。
または、光学的な計算・解析でのフーリエ変換の意味を教えて下さい。
なお、私一応、数学のフーリエ変換をわかっているつもりです。
これをどうレンズに応用するのか、よくわからないのです。

回答No.3

noname#11476 · ベストアンサー

既にある程度の予備知識はお持ちのようなので、簡単に説明しますね。
詳しくは光学の割と基本的な本を参考にして下さい。

出発点はキルヒホッフの回折理論になります。
で、今光源があり、その先に開口がある場合、開口を通った像は上記理論の式で計算できます。
この像は要するに回折像になります。
さて、この像は、開口とスクリーンの距離によって、フレネル回折像（近いとき）、フランフォーファ回折像（遠いとき）と区別して計算します。
というのも、それによって近似の仕方が異なるためです。
さて、ここで、開口の後ろにレンズを入れてその焦点距離にスクリーンを置くと、レンズの働きにより丁度開口とスクリーンの距離を無限遠にしたときに相当します。
さて、こうやって立てたレンズによるこのフランフォーファ回折像の式を眺めると、丁度フーリエ変換式と同じ形になります。
（開口の関数をフーリエ変換した形になる）

これが基本となります。
おもしろいのはこの近似のなれの果てのような形で出てきたフーリエ変換による取り扱いが光学ではかなり本質的な意味をもちフーリエ光学として発展しました。
詳しい計算は省略しますが、開口による「フランフォーファ回折」の計算が載っていればその式を眺めてみることが出来ますよ。

お礼

大変わかりやすい説明で、参考になりました。
再勉強しようと思います。
これからも、皆さんのために
わかりやすい回答をお願いします。

回答No.2

stomachman

ちょっと古い本ですが、「フーリエ結像論」（共立出版）が分かりやすく、手許に置いています。

　光学系に点光源から光を入れたとき、それがどういう像を結ぶか、というのをOTF(optical transfer function)と言います。これが光学系の特性を表している。画像Pを入力したとき、出力はP*OTFになるからです（*は畳み込み積分）。つまり光学系はフィルターの一種であると考えることができる。幾何光学でも波動光学でもこの考え方は通用しますが、特に波動光学において重要です。OTFを複素関数として扱うことによって、光波の位相まで記述でき、これがホログラムなどの干渉現象では重要な役割を果たします。

　ご質問については、（おおざっぱな話ですが、）光学系が像を結んでおらず、平行光線を出力しているとき、これが像のフーリエ変換になっている。ですからここに絞りをいれてやると、特定の周波数成分を削ることができる。真ん中に邪魔物を入れれば直流成分を削って輪郭強調像が作れる訳です。もちろん、光がレーザー光などのように可干渉性(coherence)を持つことが前提ですけど。

お礼

大変詳しく、かつ、わかりやすい説明で、有難うございます。
私も「レンズ設計のための波面光学」（草川徹　著　東海大学出版会）で、
OTFと関係があることはわかったのですが。
回答の前半はよくわかりました。
後半の「光学系が像を結んでおらず、平行光線を出力しているとき、これが像のフーリエ変換になっている」という部分がちょっと、まだ私には理解ができていません。
これからも勉強したいと思います。
ありがとうございました。

回答No.1

ymmasayan

私もよくわからないのですが、興味があって調べて見ました。
レンズと言うよりも、開口には光の回折作用があり、この結果（回折画像）がもとの光の二次元フーリエ変換になり、これにレンズを組み合わせてレンズのフーリエ変換作用と言うようです。
下記ＵＲＬもどうぞ

参考URL：

http://www.newport-japan.co.jp/tutorial/opt_113_01.html

お礼

早速の御回答、有難うございます。
私も「レンズ設計のための波面光学」（草川徹　著　東海大学出版会）で、
OTFと関係あるらしく、特に回折に関係深いらしいことはわかりました。
また私もhttp://www.newport-japan.co.jp/tutorial/は前から見ていました。
わかりやすいですね。
さらにレンズとFFTとの関係とかわかるとありがたいですが。
多分光線追跡の計算手法だと思いますが。
ありがとうございました。