フーリエ変換について

質問

フーリエ変換とは、時間軸を周波数軸に変換する操作ですが、なぜ周波数軸に変換出来るのか分かりません。(計算テクのみでした)

直感的にでも良いので、教えて下さい。

宜しくお願いします。

回答No.5

noname#21219

<<時間領域を過去から未来に無限に取っているとかって聞いたのですが、これは何を言っているのでしょうか

フーリエ変換を求める際、積分の区間がtについて
-∞～∞まで取ることに対応するでしょうね。
tが時間だとすれば、t<0は過去、t=0は現在、t>0は未来とみなすことが出来ます。別に、現在をt=-3とか
にとればt<0でも未来だから、ただの習慣でt<0を過去としているということです。

時間領域といいますけど、フーリエ変換はtとωだけではなく、k(波数)とx(位置)とか、他の組み合わせもあります。たまたまf(t)が時間tの関数だから、それを
フーリエ変換したら周波数ωの関数になるのです。

フーリエ変換はフーリエ級数の拡張です。フーリエ級数は、周期Tの任意の周期関数を、あらゆる周期のsin
とcosの重ね合わせで表せるというものです。フーリエ"逆"変換は,周期関数ではない任意の関数を,
周期無限大とした周期関数とみなすことによりsinや
cos,e^iωｔなどをつかって、ωを級数よりももっと細かく、連続的なものにし、重ね合わせも積分で行うようにして、sinやcos、複素指数関数などの周期関数の重ね合わせで表せるようにしたものです
ですけど、周期無限というのは、重ねあわせをΣから積分にするために必要なだけであり、時間領域を過去から未来まで無限にとるということと関係はありません.

時間領域を過去から無限に取るというのは、
結局、フーリエ変換のおおもとであるフーリエ級数が、『あらゆる周期のsinとcosについて重ね合わせる
と任意の周期関数が得られる』という、"あらゆる"
というところです。
f(x)=Ao/2＋Σn[0～∞](Ansinnπx/L＋Bncosnπx/L)
の"∞"というところです。オイラーの公式を使って複素指数関数に直せば-∞～∞になります。

任意の関数を、sinやcos,複素指数関数の重ねあわせでで表したいがための必然的な要請ということができるでしょう、無限まで考えるというのは.

回答No.4

tatsumi01

お望み通り、数学的な厳密性は無視して直感的に説明します。

信号 f(t) が角周波数φの正弦波とします。
f(t) = A sin(φt+α)
f(t) のフーリエ変換
F(ω) = lim (1/T) ∫f(t)e^-iωtdt ... (lim は→∞)
を計算すると ω=φ 以外では 0、F(φ) は A の定数倍になります。

つまり、角周波数φの正弦波をフーリエ変換すると、周波数領域では ω=φ で鋭いピークを持ち、それ以外では 0 になります。これは、時間的に連続な波形 (値が変化していろいろな数値を取るので、無限次元のベクトルです) を周波数１個 (φ) で表したことになりませんか？

実際の信号はいろいろな角周波数の成分が混在していますが、信号を見ただけではどんな角周波数の成分が混じっているのか良く判りません。しかし、フーリエ変換するとそれぞれの成分の角周波数に対応するところに鋭いピークが出ます。これは、信号をいくつか足し合わせた場合、そのフーリエ変換はそれぞれの成分のフーリエ変換の和である、という性質から来ています。

このピークを眺めれば、信号にどんな角周波数成分があるかが判るのです。このことを周波数軸に変換した、と表現します。

回答No.3

guuman

フーリエの反転公式が成り立つので
その変換結果の変数を周波数と読んでいるだけです
なぜ重力を重力と名づけたかという質問は意味がありません
何と名づけてもいいのですから

ラプラス変換できる関数の変数ｓは名前がつけられているかもしれませんが一般的ではないでしょうから
つけられていないと考えるべきでしょう

周波数とつけた理由はつけた人だけが知っているのです

回答No.2

noname#210617

経時的（時間軸）に変化する信号を、特定の共振周波数を持つフィルタにかけて、その振幅を知る。その共振周波数を0→∞（周波数軸）に変化させて振幅をプロットする。
FFTの計算では、位相を180度ずらして足し合わせると0になるというような計算をしていたように思います。

回答No.1

noname#21219

F(ω)=∫f(t)e^-iωtdtがフーリエ変換ですけど

これは、このときωというのは定数だと思ったほうがいいでしょう。F(ω)とくると、いかにも変数に思われますけど、これは定数；ただ一つの値でしかなく、したがってF(ω)もωに対応するあるひとつの値です。

それで、f(t)という関数は、様々な値のωについての
e^iω1t,e^iω2t,e^iω3t...という、直交単位ベクトルi,j,k..に対応した基底を適当な振幅で重ね合わせた一つのベクトルだと考えていいでしょう。そして、その"ベクトル"f(t)と
ある単位ベクトルe^iωtの内積をとっているのがフーリエ変換です。内積をとるとは、"ベクトル"f(t)に複素共役e^-iωtをかけて積分することです。

任意のベクトルとある単位ベクトルの内積をとると
どうなるでしょう。当然、その単位ベクトルの成分
しか残りません。ですから、F(ω)というのは、
成分です。f(t)のe^iωtの成分といえます。
その成分F(ω)を、全てのωについて求めて一度に展示しているのがF(ω)というグラフに過ぎません。

あくまで、F(ω)=∫f(t)e^-iωtdtは一つのある値です。

補足

時間領域を過去から未来に無限に取っているとかって聞いたのですが、これは何を言っているのでしょうか？