フーリエ級数展開

質問

フーリエ級数展開（フーリエ変換）について、その有効性について解説をお願いいたします。

時間軸、周波数軸、信号、変換、周波数ベクトルについても解説をお願いいたします。

回答No.2

neet2009

私の中でのイメージですので、参考になるかどうか分かりませんが…

とりあえず、大雑把に考えてみてください。
フーリエ解析は、かなり大雑把に考えれば、解析する対象を周波数領域で表現するだけです。（そこから先に、色々な発展があると思いますが…）

周波数領域で見るということは、波の大きさ、振動数、位相（波の相対的な位置関係）で考えることです。
（フーリエ変換をすると、一般的には複素数で返ってくるので、それを周波数ベクトルって言っていて、波の大きさと位相情報が含まれていたと思います…）

たとえば、ピアノの音を録音したとして、その録音した信号から、音の高さや、倍音の成分を調べたいとします。

が、録音された信号は、時間と供に変化しますから、（録音開始して、１秒後の音圧、２秒後の音圧、…、という感じで記録されますので。）録音した信号を眺めていても、大体の人間は、何がなんだか分かりません。実際さっぱり分かりません。（少なくとも、私は分かりません。）

しかし、ここで録音した波形を周波数領域で表現し直して観察すると、とたんに全容が見えてきます。
音は波で伝わりますよね。しかも、ピアノの真ん中の「ラ」は４４０Ｈｚと分かっていますから、音の高さを調べるなんて、見ただけで分かるようになります。

「時間（本質的に時間で変化する信号でなくてもＯＫ）と供に大きさが変化する信号を見ていても何も分からないけれど、時間と供に周波数が変化するような見方をした方が、断然わかりやすいし、扱いやすい」という場合に特に有効性が出てくるものだと思います。

昔からよく言う「押してダメなら引いてみろ」的なものだと思います。

ただし、すべてのものが、フーリエ変換で観察しやすくなるわけではありません。（うる覚えですが…）局所的な特徴の変化を観察したい場合は、ウェーブレット変換の方が分かりやすい場合もあったりします。たしか…

回答No.1

foobar

解析する場合
回路や機械系の動的な挙動を調べる場合、正弦波ってのは非常に計算しやすいし扱いやすい波形です。（指数関数の微分、積分はやっぱり指数関数になるのと関連して。）
入力信号を正弦波の集まりに分解できれば、それぞれの正弦波に対する応答は楽に計算できて、それらを集め合わせることで最終的な応答も楽に計算できます。
また、共振なども特徴的な周波数（共振周波数、バンド幅）で特徴を表すことができて、信号を周波数で表すフーリエ級数との相性がよいです。