sintのフーリエ級数展開

質問

sintのフーリエ級数展開がsintになることを確かめたいのですが、
公式に当てはめてフーリエ級数展開をしても0になってしまいます・・
どうかやり方を教えて頂きたいです。

お願いします。

回答No.5

info22 · ベストアンサー

#2の補足質問の回答
b_1=1だけ間違っています。

フーリエ級数展開の定義は
f(t) = (a_0/2)+Σ[n=1, ∞]( a_n cos nt + b_n sin nt )…(*)
展開区間を[-π,π]とした時の係数は
a_0=(1/π)∫[-π,π]sint・dt=-(1/π)[cost]|[-π,π]=0
a_n=(1/π)∫[-π,π] sint・cos(nt)・dt
=(1/π)∫[-π,π]{sin(n+1)t+sin(n-1)t}dt
　 =(1/2π)∫[-π,π]{sin(2t)+0}dt=0　　　　　(n=1の時)
=(1/2π)[{-1/(n+1)}cos(n+1)t+{(-1)/(n-1)}cos(n-1)t]|[-π,π]=0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(n≧2の時)
b_n=(1/π)∫[-π,π] sint・sin(nt)・dt
　 =-(1/2π)∫[-π,π]{cos(n+1)t-cos(n-1)t}dt
　 =-(1/2π)∫[-π,π]{cos(2t)-1}dt=1　　　　 (n=1の時)
　 =-(1/2π)[{1/(n+1)}sin(n+1)t-{1/(n-1)}sin(n-1)t]|[-π,π]=0
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　(n≧2の時)
となり
b_1=1でその他のフーリエ係数は全てゼロですね。

(*)の式は
f(x)=b_1・sint=sint
となるわけです。

お礼

ありがとうございます。よく解りました。

回答No.4

noname#50894

解答のなかで、
>b_n=1/Π∫[-Π,Π]sint・sin(nt)・dt
>=-1/2Π∫[-Π,Π]{cos(n+1)t-cos(n-1)t}dt
>=-1/2Π[{1/(n+1)}sin(n+1)t-{1/(n-1)}sin(n-1)t][Π,-Π]
■（この箇所は、n≠1の場合にのみ成立する）
>=0

n=1の場合は
b_1=1/Π∫[-Π,Π](sint)^2dt
=1
ですね。

お礼

ありがとうございます。よく解りました。

回答No.3

phusike

Fourier級数展開とは、
f(x) = Σ[n=0, ∞]( a_n cos nx + b_n sin nx )
と表すこと。
そして、f(x) = sin x の時は、
a_n = 0, b_n = 0 ( n≠1), b_1 = 1
となることが当然期待されるわけですよね。

そして、ute3g2nさんの答案では、b_1 のみ答えが合わない。

もう一度、答案を見直して下さい。
b_n を求める計算を全ての n に関して一括して行いましたが、
果たしてその計算は本当に全ての n について成立するのか。
よく見直すと、n = 1 の時には議論が破綻しているはずです。

お礼

ありがとうございます。よく解りました。

回答No.2

info22

あなたのやった解答を補足に書いて下さい。

＞定義域は特に指定してないです。
＞単にsintをフーリエ級数展開してsintになることを確かめろとのことです。
＞定義域によって変わったりするのでしょうか？
定義域つまりフーリエ級数展開する区間（基本周期）を指定しなければ、
展開しても解答が何通りも出てきて、展開式はsintにはなりません。

あなたがフーリエ級数展開を正しく理解しているなら、先生が指示しなくても、出題の趣旨から「sintのフーリエ級数展開がsintになる」ことを
確認するには、暗黙の定義域があります（先生が言わなくてもあなたが定義域を正しく捕らえていないといけません）。

#1さんがそのため、定義域をあなたに質問されたのです。その定義域をあなたが正しく理解されていないため、フーリエ係数の積分区間をどうされたか、それによっては正しい結果が出てきません。

その意味で、あなたの間違った「公式に当てはめてフーリエ級数展開をしても0になってしまいます」となってしまう解答を書いてください。

補足

[-Π,Π]の区間でやりました。

a_0=1/Π∫[-Π,Π]sint・dt=-1/Π[cost][Π,-Π]=0

a_n=1/Π∫[-Π,Π]sint・cos(nt)・dt
=1/2Π∫[-Π,Π]{sin(n+1)t+sin(n-1)t}dt
=1/2Π[{-1/(n+1)}cos(n+1)t+{(-1)/(n-1)}cos(n-1)t][Π,-Π]
=0

b_n=1/Π∫[-Π,Π]sint・sin(nt)・dt
=-1/2Π∫[-Π,Π]{cos(n+1)t-cos(n-1)t}dt
=-1/2Π[{1/(n+1)}sin(n+1)t-{1/(n-1)}sin(n-1)t][Π,-Π]
=0

となり、フーリエ級数展開も0になってしまいました。
アドバイスお願いします。

回答No.1

noname#50894

極端な事例ですが、
例えば、区間t∈[-√2,√2]において、sin(t)をフーリエ級数展開せよ。
ということであれば、単純な式にはなりません。
定義域はどうなっているのでしょうかね。

補足

定義域は特に指定してないです。単にsintをフーリエ級数展開してsintになることを確かめろとのことです。定義域によって変わったりするのでしょうか？