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円と外接多角形の周の長さ
yaksaの回答
- yaksa
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ですから、 ＞曲線の長さが極小線分の和で表せる これが明らかでないのです。これを証明してください。 あくまで、「曲線の長さは曲線上に頂点を持つ任意の折れ線の長さの上限」で定義されています。 この定義のもとで、「曲線の長さが極小線分の和で表せる」ってのは明らかではないので証明してください。 ＃１の方の参考ページの＃７～＃９あたりを読まれるとよいかと。 今は、円という２次元の図形の、円周という一次元の部分を問題にしています。こういうふうに、対象の図形全体の次元と、注目している部分の次元が異なるとき、その次元の差を「余次元」といいます。 余次元が０のときは何も考えずに微小な要素を考えてもほぼ間違いは起きませんが、余次元が１以上の場合は、微小要素の極限を考えるときにはかなり注意をする必要があります。 「細かく見る極限で、折れ線が曲線に一致する」からといって「曲線と直線の長さが等しい」とは限らないってことです。この場合はうまく一致しますが、＃１さんのページの＃７で述べられているように、これが成り立たない例（いわゆるフラクタル図形）はたくさんあります。
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