展開図の一般的定義

質問

展開図の定義を考える際で、
1.定義される(できる)対象の範囲
(ex,立方体の表面 i.e.この場合、定義される空間＝立方体の表面)
2.展開される空間はどうなるか (ex,立方体の表面は平面に展開できる i.e. この場合、展開される空間＝平面)
(* 展開される空間も一意でないように思います。)
3.展開図の書き方についての存在性や一意性があるか否か、
存在して一意でない場合は、全ての展開図の分類の仕方があるか否か
(ex,立方体の例では、一意ではないが辺の切り方による違いしかない)

問題の意味を理解していただくために立方体の境界を例に挙げて説明しましたが、一般的にどのようなことが言えるでしょうか？
この問題は、カテゴリー的には、位相幾何それとも、(計量)微分幾何or(はたまた、)グラフ理論に属すような問題でしょうか？

回答No.2

stomachman · ベストアンサー

展開図、と言われて浮かぶイメージにも結構ぶれがありそうなんで、数学として扱うにはもうちょっと明確にしておかねばならんだろうと考えました。以下は思いつきのパブリングです。

●「平面に延ばせない曲面（例えば球面）上に描かれた展開図を、はさみで切り取って、立体を組み立てる」ということを想像することもできますが、その際に折り曲げる辺が（三次元ユークリッド空間中で）曲線である場合、「曲線に沿って折る」という操作をきちんと定義できるか。切り取った展開図の各面を変形せずに折るんだとすると無理っぽく思われます。
　んなわけで、とりあえずは
★３次元ユークリッド空間内に埋め込まれている２次元ユークリッド平面を考える。で、その２次元ユークリッド平面上に描かれた展開図を、はさみで切り取って、線分である辺に沿って（各面を変形させる事なく）折り、そして、展開図を切り抜いたときの曲線の部分同士を余りが出ないように貼り合わせ、３次元ユークリッド空間中の曲面を作る。
という話に限定したほうが良さそうな気がします。

●多面体の展開図では、
(1) 展開図を切り抜く曲線はひとつの連結な閉曲線である。
と言えそうです。閉曲線でなきゃ切り抜けないですもんね。この閉曲線は（普通の展開図では）多面体の辺のうちのいくつかを一筆書きで繋いで作られますから、線分だけから成っています。でも、多面体の面を二つに切り分けることを許せば、曲線もあり得ます。（そういう切り方をしないと展開図ができないような立体、というものがあるのかどうかは知りません。）
「ひとつの連結な閉曲線」と言うのは、複数の閉曲線を許したら、各面をてんでに切り抜いてから貼り合わせても良いのだから、展開図っぽくない。また、展開図を切り抜く曲線が自分自身と交差するんでは、その点で二つのパーツに切り分けるのとあまり違わない感じです。
立体の方から考えると、「ある立体の辺をいくつか選んで切り離し、しかし２つ以上のパーツには分かれないようにする。そして、各面を変形させる事なく立体をぺたんこにつぶせたとする。そのとき、つぶしたもの同士の重なりが生じないようなつぶし方ができる、そのような辺の選び方があるか」。これがYESであるような立体は展開図が存在する。NOであれば展開図はない。そういう風に定式化できるでしょうか。
　　簡単な（凸の）立体だけ考えていると
(２) 展開図中のすべての辺は、展開図を切り抜く曲線の一部分であるか、または、辺の両端が、展開図を切り抜く曲線上の点である。
という印象ですけれども、凸でない立体まで考えると、これは必ずしも言えない。折り紙で立体を作るときに、折り目の線が紙の縁にまで至るとは限らないことからも分かります。
　ところで、穴のない立体（球と同相の立体）と、穴のある立体とでも様子が違うようです。穴がない立体は組み立てに際して、展開図を切り抜く曲線を構成する辺を、いわば「順番に張り合わせる」だけですけれど、穴のあるものはそうではない。

●曲面を持つ立体（たとえば円錐や円柱）の展開図
多面体で近似してから扱うのなら上記の議論とおなじですが、曲面をそのまま扱うんだとするとどうでしょうか。
球面は（多面体で近似しないと）展開できない。だけど円錐は確かに近似なしで展開できる。円錐の側面にはそもそも「辺」がないんだから、上記のような「辺で折る」という概念が成り立ちません。だから考え方を拡張する必要があります。拡張された「折り曲げ」を考えれば、紙を丸めるような一般的な変形を扱うことも可能でしょう。たとえば、紙のまんなかで120度で交差する３本の半直線を引き、これらを山折りにすると、曲面３つから構成されるへんてこな立体ができます。紙が伸び縮みしていない、という意味でどこにもおかしなところはない。もちろん、この立体は平面に戻す事が出来る。これって、すなわち可展面の話です。表面が可展面だけで構成される立体ならば、（近似なしの）展開図が作れる可能性がある。じゃあ、どんな立体がありうるのか。これは多面体の展開図とはとりあえず別の領域の問題として扱う方が良さそうな気がします。
ところで、円錐の展開図では、底面は側面の部分と一点で繋がっているだけですから、上記の(1)の「切り抜く曲線はひとつの連結な閉曲線」とは言っても、自分自身と交差している点が生じます。つまり、「各面をてんでに切り抜いたのと同じ事だ」と言われてもしょうがない。ここんとこも、多面体の話とは違ってきますね。

●もっと抽象的な空間での展開図
ということになると、その空間での微分幾何学を決めて、「面を変形しないで折る」という操作を定義することから始めなくちゃいけないでしょう。いかにも数学っぽくてヨイですねえ。しかし、まずは「展開図」の概念を固めてみてから拡張を考えるほうが良さそうな感じです。

お礼

ご回答ありがとうございます。
中々、理解するのに、時間がかかってしまい、
お礼の方が遅くなって申し訳ありません。

ご回答から伺えたことは、
展開図の理論に関しても、素朴な発想から本質を捉えて
抽象論に組み込める理論を構築していく方針が
考えられることです。
そのように展開図の理論に関しても発展したらいいと思えました。
勉強になったと思います。

回答No.1

shkwta

こんな資料がありますが役に立つでしょうか？
http://www.ed.ehime-u.ac.jp/~hirata/publish/tamentai/index.html

参考URL：

http://www.ed.ehime-u.ac.jp/~hirata/publish/tamentai/index.html

お礼

ご回答ありがとうございます。
理解するのに、時間がかかってしまい、
お礼の方が遅くなって申し訳ありません。
展開図の理論を作る上で、単純で素朴なモデルから
本質を捉えるようにしていきたいと考えております。