そもそも"図"の定義とは?

質問

数学基礎論を勉強してみたのですが、
図形(幾何学)に関しては定義はどうなっているのでしょうか?

図とは単に視覚的表現法であって"図"の定義なんてものはそもそも無いんでしょうか?
円とは集合{(x,y)∈R;x^2+y^2=r^2,0<r∈R}の事と定義出来ると思いますが
角度の定義はどのように定義されるのでしょうか?(図でなら簡単に定義(?)出来るでしょうが
その場合,先に"図"の定義をしないといけませんよね)
また、平行線の定義とは何なのでしょうか?

因みに
sin,cos,tanは図を使わないのなら無限級数で表される写像として定義出来る事は分かりました。

回答No.5

kabaokaba · ベストアンサー

>A={(x,y)∈R^2;y=ax+b,(a,b∈R)},
>B={(x,y)∈R^2;y=cx+d,(c,d∈R)}
>として
>A∩B=Φ

変わってないですよ。。。
集合の条件の中にa,b∈Rのようなものがあるから
a,bが任意なのか，固定されているのかが明確ではないのが
違和感の原因でしょう．この方法で書くならば

a,b∈Rに対して，集合L(a,b)を
{(x,y)∈R^2;y=ax+b}と定め，a,b∈Rで定められる直線という．
このとき，
a,b,c,d∈Rに対して
L(a,b)∩L(c,d)=φ
であるとき，L(a,b)とL(c,d)は平行であるという．
＃ついでにいうと，「a≠0, c≠0」は不要でしょう．

これくらいですかね．しかし，この方法は決定的な間違いがあって
「直線であって欲しい集合」を表しきれていないんですよ．
「y軸に平行な直線」が落ちてます．
＃ちなみに，だから，わざわざ「方向ベクトル」を使ったのです
＃もっとも「ゼロベクトル」を除外しなかったのは手抜きですが

>（余談）（略）正式な数学書では，空集合の記号は，\emptyset
空集合の記号（0にスラッシュ）は，ブルバギでA. Weilが
ノルウェイ語（のはず）の記号を使ったのが由来だとか
いわれてますね．
ところが，一概に「正式な数学書」とやらで\emptysetが使われるとは
限りません．日本語で編集されたものではまず全滅でしょう．
＃著者が正しく書いても編集が間違って直すこともあるのですよ．
いわゆる「教科書」では「φ」ですので，
それがそのまま踏襲されているものが多いです．
＃手元に岩波の数学辞典がないので確信はないですが，
＃数学辞典はさすがにきちんとしてるかな。。今の版からTeX組です．
外国でも，例えばChigo Manualなんかでも「φ」も空集合の
記号として列挙されてるくらいで，結構ばらばらです．
Springer/Academic Press/Elsevierクラスの出版社でも
多分書籍ごとにばらばらでしょう．

本題．
>図書館で調べてみましたが見つけれませんでした。

足立恒雄氏（だったと思う）の本で
日本評論社からでてる微積分の本かな
かなり昔（１５年以上は前）の数セミの連載です．
D^2 y = - yに適当な初期条件をつけてy=sin(x)が
一意の解になるようにするだけだったはずです．
＃正確には D^2 y = - yに適切な条件をつけて解が一意になるようにして
＃それをsin(x)と定めるという感じです．
他にも定義の仕方（微分方程式の選び方）は
いろいろあるはずです．

sinが定義できれば，それの導関数でcosはOK，
tan=sin/cos でOK．
問題は・・周期性がしんどそうですね．

ついでにいっておくと，
前は「ピタゴラス」で距離を決めてしまいましたが，
先に三角関数とかを作ってしまって，
いわゆる「合同変換」で「長さが不変」となるように
長さを決めると恐らく，
ピタゴラスが定理として出てくるでしょう．
本質的に同じですが，「面積」「体積」といった「計量」を
「自然なもの」として先に決めてあげても
きっと同じような議論になるんじゃないでしょうか．

お礼

遅くなりまして申し訳有りません。
有難うございます。
大変参考になっております。

まだ熟考中です。
もう暫らく勉強してみたいと思います。m(＿ ＿)m

回答No.4

Knotopolog

Knotopolog です．
貴殿の平行線の定義は，全くの間違いと言うわけでもありませんが，
集合の記述：{(x,y)∈R^2;y=ax+b,y=cx+d,(a,b,c,d∈R)}=Φ が
どうもしっくりきません．なぜならば，上記の集合の記述ですと，
集合{(x,y)∈R^2;y=ax+b,y=cx+d,(a,b,c,d∈R)}が常に空集合（Φ）であるような書き方です．むしろ，二次元ユークリッド空間 R^2 上で，
A={(x,y)∈R^2;y=ax+b,(a,b∈R)},
B={(x,y)∈R^2;y=cx+d,(c,d∈R)}
として
A∩B=Φ
ならば，集合Aと集合Bは交わりませんから，
直線 y=ax+b と直線 y=cx+d は平行であると言えます．
ただし，a≠0, c≠0 です．
（余談）空集合の記号は，ギリシャ文字の φ(phi；ファイ)や Φ(Phi；ファイ)ではなく，\emptyset（テフ(TeX)で用いる記号）です．この場では，\emptyset は書けませんのでギリシャ文字の Φ または φ を使うのはかまいませんが，\emptyset の記号を知っておくのも必要でしょう．（すでにご存じかもしれませんが）．正式な数学書では，空集合の記号は，\emptyset が使われます．

お礼

遅くなりまして申し訳有りません。
有難うございます。
大変参考になっております。

まだ熟考中です。
もう暫らく勉強してみたいと思います。m(＿ ＿)m

回答No.3

kabaokaba

数学では「空間」というのと「集合」ってのは
ひんぱんに同じものを指します．
空間というと，まあ，雰囲気が幾何っぽくなるかな．

>数学基礎論を勉強してみたのですが、
どのレベルでしょうか？
ZFCあたりから始まる基礎論の基礎のところですか？

大雑把に・・・
ZFCで集合を作ります（というか規定するというか）．
それから，自然数を作ります
（ペアノ公理なんかをいれて・・特に帰納法の公理）．
自然数から有理数を作ります
（ここ何か追加必要だったような・・・）．
有理数から実数を作ります
（いわゆる連続の公理を追加）．
途中いろいろな公理なり何なりを追加しますが．
ここらへんまでくれば，実数の集合が定義できて，
直積を使って，R^mができるから
これをベースの空間として考えればいいのでしょう．
距離は「ピタゴラスの定理」でいれることにしましょう．
この距離から位相をいれておきます．

これくらいまで準備すれば，「普通の数学」で
ユークリッド幾何（のモデル）を展開することも
非ユークリッド幾何のモデルも展開することもできるでしょう．

R^mの一点 a を通る直線ってのは
Rの組(d1,d2,...,dm)を用いて
a+t(d1,d2,...,dm) (tは実数)
と表せる集合．
これを使えば
「R~mの二点 a，bを通る直線は一つだけ」
なんてのも示せるかな
そうすれば「線分」も定義できて，
それで三角形も定義できる．
平行であるなんてのも定義できて，
交わるなんてのも定義できます．
ベクトルの内積で「角度」も定義できます．
＃三角関数は級数で定義可能だし・・実は微分方程式でも定義可能．

ちなみに・・・幾何ってのは，
集合論から独立して構築しようと
思えばできるはず．
ヒルベルトの「幾何学の基礎」とかの公理系でよいのでしょう
＃これが無矛盾か完全かというような議論は必要でしょうけども
＃きっと無矛盾に違いない（と信じます(^^;;）
幾何ってのは大局的には
「対象に付随する性質で，対象間の変換によって
変化しない性質を調べる」というものです

お礼

有難うございます。
大体概要が分かってきました。

>どのレベルでしょうか？
> ZFCあたりから始まる基礎論の基礎のところですか？

はい、その後、自然数を定義していく所ぐらいまでです。

角度は内積で定義出来ちゃうんですね。
大変参考になります。

> 実は微分方程式でも定義可能．
これは初耳です。

図書館で調べてみましたが見つけれませんでした。

sin,cos,tanを微分方程式でどのように定義出来るのでしょうか?

回答No.2

Knotopolog

数学の各分野に共通するような目的で，「図形」という用語そのものに定義は与えられていないと考えています．私は論文を書くときなどに「図形」という用語そのものは，習慣的に無定義用語として用いています．それでも間違いは起こりません．事実，「数学辞典第４版」を調べてみても「図形」そのものの定義はありません．何か，或る図形を特定したい場合は，あらためて，その図形を明確に定義し，名前を付けて使います．例えば，「ファインマン図形」「フラクタル図形」「Young図形」「Dynkin図形」「佐武図形」など．習慣的に「平面図形」などという使い方もします．「数学辞典第４版」をみますと「図形」という用語が無定義のまま非常に頻繁に出てきます．これは，誤解や解釈のあいまいさを招かない限り自由に「図形」という用語を用いてもよいという例ではないでしょうか．もし，「図形」という用語そのものに定義を与えると，必ず，その定義にそぐわない使い方をしたい場合が出てきます．すると，また新しい用語を用意しなければなりません．そういう流れが必要ならば，それでも良いのですが，無理に「図形」という用語そのものに定義を与える必要はありません．しかし，或る１つの論文のなかで「図形」という用語そのものに定義を与えて理論を展開することはいっこうに差し支えありません．定義する必要のない用語は定義しない方が良いのです．あいまいさを無くすために定義する必要があれば，その時に定義すればよいのです．数学は無定義用語から始まるのですから，その時々で，厳密性を保つように数学論理を展開すればよいのです．以上が私の考え方です．違った思想の方もいるでしょうが，．．．？

お礼

ご回答有難うございます。

雰囲気(視覚的に)で皆が誤解無く解釈できるのなら、厳密な定義は不要なのですね。
因みに角度や三角形を集合で定義出来るものなのでしょうか?

平行線の定義は
「{(x,y)∈R^2;y=ax+b,y=cx+d,(a,b,c,d∈R)}=Φ
の時、
{(x,y)∈R^2;y=ax+b,(a,b∈R)}と{(x,y)∈R^2;y=cx+d,(c,d∈R)}は平行である」という。
と考えたのですが…間違ってますでしょうか?

回答No.1

fjfsgh

図の定義の前に空間の定義が欲しいですが、
それは集合とか多様体を用いて定義するのが普通と思います。

お礼

ご回答有難うございます。

えっ!?
空間が定義出来れば図も定義出来るのでしょうか?
その場合、図は何のように定義されるのでしょうか?

視覚的な表現法が図だと推測しておりますが。。