軌跡

質問

X=α＋β/2
Y=m(α＋β)-4m/2
α＋β=4m^2/m^2-1

という軌跡を求めるのですが、もちろん媒介変数のmを消しにかかると思います。ただこの場合YがXで表せる部分がありますのでそこをXとしてからでもよいと思うのですが、どうも最後までたどりつきません。正解は(x-1)^2-y^2=1という放物線になるらしいのですが...
途中の計算を示していただけると助かります！よろしくお願いします。

回答No.6

ryn · ベストアンサー

> (2) より　X ≦ 0 , 2 < X
> とありましたが、これはどのようにして出てきたのでしょうか？
慣れていれば式を眺めればわかりますが，
そうでない場合は横軸m，縦軸x として
m を全ての実数で動かしたときのグラフを書いてみれば
x のとりうる範囲がわかります．

お礼

なるほど。ちょっとこれはグラフ書かないとキツイみたいです...まだまだ式を見る目が足りないんですね。どうもありがとうございました！！

回答No.5

ryn

とりあえず，α+β を消すと
　Y = mX - 2m
　2X = 4m^2/(m^2-1)
もう少し変形して
　Y = m(X-2)　　　　　　　…(1)
　X = 2 + 2/(m^2-1)　　　　…(2)
を得ます．
ここで，(2) より
　X ≦ 0 , 2 < X
となることに注意してください．

X≠2 であることから (1) は
　m = Y/(X-2)
と変形できるので，これを(2)式に代入します．
すると，
　X = 2 + 2/{(Y/(X-2))^2-1}
⇔ X-2 = 2/{(Y/(X-2))^2-1}
となります．
右辺の分母分子に (X-2)^2 をかけると
　X-2 = 2(X-2)^2/{Y^2 - (X-2)^2}
です．

X≠2 なので，両辺 X-2 で割って
　1 = 2(X-2)/{Y^2 - (X-2)^2}
ここで，X の3次式ではなくなりましたので
あとはいけますね．

お礼

ありがとうございます！！！やっと出来ました。
こんな程度の式変形をわざわざ説明していただきほんとにお恥ずかしいです...

ところで一点だけ気になったのであと一度お答えいただけますでしょうか？

(2) より　X ≦ 0 , 2 < X

とありましたが、これはどのようにして出てきたのでしょうか？僕はとりあえずX≠2として計算を進め、出てきた結果にX＝2を代入して成り立つならばすべてのXで成り立つ、みたいな感じでいこうと思ってたんですが、この時点で範囲が限定されるのであればそんな煩わしいことはしなくてもいいですよね。それにすべてのXというのも間違っていましたし。
よろしければ引き続きアドバイスお願いいたします。

回答No.4

ryn

正解が (x-1)^2-y^2=1 であるなら，
問題は
　X = (α＋β)/2
　Y = {m(α＋β)-4m}/2
　α＋β = 4m^2/(m^2-1)
のようですね．

> そこをXとしてからでもよいと思うのですが
よいと思いますよ．
そのまま頑張って計算すれば出てくるはずです．
得られる図形は No.3 の方がおっしゃるように
双曲線(の一部)です．

お礼

何度やってもXの３次式が出てきてしまうのですが...やはりどこかで間違っているのでしょうか。

回答No.3

rinri503

１番２番の方も、問題が不正確と指摘していますが
１行目も／２がどこまで、かかっているのか、分かりにくいですね
正解も正しいとすれば、放物線でなく、双曲線ではありませんか

補足

ご指摘の通りです。

回答No.2

partita

＃１さんに続いて・・・

Y=m(α＋β)-4m/2

はどこか間違っていませんか？

お礼

ご指摘の通りです。

回答No.1

ryn

> ただこの場合YがXで表せる部分がありますので
ここから察するに
　X=α＋β/2　→　X=(α＋β)/2
でしょうか？

また，
　α＋β=4m^2/m^2-1　→　α＋β=4m^2/(m^2-1)
ですか？

補足

すみません！いつも分数式書いてると（）付け忘れてしまいます...以後気をつけます！ご指摘の通りです。