不等式の証明
- 任意の実数xについて1+kx^2≦cosxが成り立つような定数kの範囲を求めます。
- グラフを書いて考えると、0<x≦πの範囲で考えれば十分です。
- k≦cosx-1/x^2として二つのグラフの上下関係で示すこともできます。
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不等式の証明
任意の実数xについて1+kx^2≦cosxが成り立つような定数kの範囲を求めよ。 という問題なんですが、グラフを書いて考えると【0<x≦πの範囲で考えれば十分】だと分かります。（x=0の場合に等号が成り立つのは明らかです）ただこれを記述で書くときに採点者に対してどのように説明すればよいのか迷います。どこまでが自明と言っていいのか分かりません。もちろんf(x)=(右辺)-(左辺)として、これを微分して、場合分けして示すことも出来るのですが、あくまでk≦cosx-1/x^2として二つのグラフの上下関係で示したいと思う場合についてです。 【 】の部分の記述の仕方についてアドバイス頂けたらと思います。
- rockman9
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#1です． すみません． 【0<x≦πの範囲で考えれば十分】 これはk<=cosx-1/x^2と変形した後，「グラフより0<x<πで考えれば十分」といきなり書いても問題ないです． 明らかに自明なので． このほかにも，もう1つ別の解法があります．k<=cosx-1/x^2したあとで，x=2tと置いてみましょう．
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- graduate_student
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cosx-1/x^2=f(x)とおいて，微分するってのはだめですか？ これの類題で，2001年北海道大学前期[2]があります． このテーマはマクローリン展開が背景にあります．
補足
もちろんそのように解いていくのですが、この問題の場合xの範囲が確定していないので、ある幅に収めないと収拾がつかないと思うのですが...仮にそのf(x)を微分して、f'(x)の分子の符号が分からないのでさらにそれをg(x)などとしてこれをまた微分していく形になると思うのですが、このとき-∞<x<∞ですと途中で止まってしまいます。ですからどのような形であれ、あるxの範囲を決めなければならないと思うのですが。
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- 数学・算数
お礼
ありがとうございます！記述となると採点者にどこまでが自明として認められるのか基準などありませんからどうも迷ってしまいます。助かりました！ちなみにその解法でも解いています。この問題は３～４種類くらい解法があるみたいですね。もっとあるかもしれませんが...とにかくありがとうございます！！