不等式

質問

不等式2x^2-9x+4＞0・・・(1)
　　　x^2-(k+5)x+2k+6＜0・・・(2)
(1)(2)を同時に満たす実数xが存在しないような実数kの範囲は□≦ｋ≦□である。
また(1)(2)を同時に満たす自然数xがただ一つである実数ｋの範囲は□＜ｋ≦□となり、
このとき(1)(2)を同時に満たす自然数xは□である。

(1)(2)を同時に満たす実数xが存在しないためには、

1/2≦ｋ+3≦4　　であればよい。

とあったのですが、x=2も一緒に考慮してないのはどうしてですか？ｋ+3は未知数でx=2も含むかもしれないからなのですか？
不等号も≦と、「＝」がついてくるのはどうしてですか？

(1)かつ(2)の範囲に自然数が一個だけ含まれるためには

5＜ｋ+3≦6　　であればよい。

この6はどこからでてきたのでしょうか？
なぜこの範囲と決定することができるのですか？

よろしくお願いします。

回答No.1

hinebot · ベストアンサー

2x^2-9x+4＞0・・・(1)
x^2-(k+5)x+2k+6＜0・・・(2)

(1)は
(2x-1)(x-4)＞0 と因数分解できるので、これを満たすxは
x<-1/2, 4<x (i)となります。

一方(2)は
{x-(k+3)}(x-2)＜0 と因数分解できます。
これを満たすxは、kの値によって変わります。
(a)k+3 > 2 すなわち、k >-1のとき
2 < x < k+3 (ii)
(b)k+3 < 2 すなわち、k <-1のとき
k+3 < x < 2 (iii)
(c)k+3 = 2 すなわち、k =-1のとき
(2)の式は (x-2)^2 < 0 となり、これを満たす実数xは存在しません。

ここまではOKですね？
(1)(2)を同時に満たす実数xが存在しないためには、
(c)の場合であるか、(a),(b)のときは、(i)と(ii)または(i)と(iii)の範囲が
重ならなければよいわけです。

>x=2も一緒に考慮してないのはどうしてですか？
まず、これに対する答えですが、x=2 のときは既に(i)の範囲外にありますから
(-1/2<2<4 ですよね）もう一方境界である k+3 のみ考えればよいわけです。

(i)と(ii)を考えた場合、(ii) で既にk+3>2 としてますから
k+3≦4 の場合だけ考えればよく、同様に(i)と(iii)を考えた場合は、
k+3≧-1/2 であればよく、両方あわせて、 -1/2 ≦ k+3 ≦ 4 となります。
ここで
>不等号も≦と、「＝」がついてくるのはどうしてですか？
ですが、(i)の x<-1/2 と　4<x の範囲外であることを考えているわけですよね。
(i)では等号がついてませんから、等号のつくx=-1/2 とx=4 のときも(i)の範囲外です。
つまり、「"x<-1/2 または 4<x"ではない」⇔「-1/2≦x≦4」であるため
等号がつくことになります。

次に
>(1)かつ(2)の範囲に自然数が一個だけ含まれるためには
>5＜ｋ+3≦6　　であればよい。
>この6はどこからでてきたのでしょうか？
について考えましょう。

今度は、さっきとは逆で(i)と(ii)または(iii)の範囲が重ならないといけません。
なので、-1/2 ≦ k+3 ≦ 4　の逆で、 k+3 < -1/2, 4<k+3 という条件が出てきます。
ここで数直線に範囲を書いて重なり方を考えてみましょう。
(i)と(ii)が重なる場合　
小さい方から-1/2, 2, 4,k+3 と並び、4とk+3の間の範囲が重なることになります。
まず、重なる条件から　4<k+3 です。
重なっている範囲は4<x<k+3 の範囲ですね。
この中に自然数が1個含まれる必要があります。このときその自然数は５であることは
すぐに分かりますね。k+3=5 では5は4<x<k+3 の範囲に入りませんから
5<k+3 であるのはOKでしょうか。
さて、今度は逆にk+3>6 では、4<x<k+3 の範囲に自然数が2個以上（5,6,…）含まれて
しまいますから　k+3≦6 でないといけません。
6が出てくるのはこういうことです。
ちなみに、(i)と(iii)が重なる場合、重なっている範囲は負になるので、自然数という
条件を満たせませんので、除外できます。

最後にポイントを再確認します。
不等号　＜（＞）の逆（否定）は、＞（＜）ではなく、≧（≦）と等号がつきます。
逆に
≦（≧）の逆は、＞（＜）で、等号が取れます。

お礼

ありがとうございます。
さっそくプリントアウトしてもう一度解いてみます。
またさらに質問がでたときにはよろしくお願いします。

まずは、お礼まで。

回答No.4

hinebot

#1です。

>(1)は
>(2x-1)(x-4)＞0 と因数分解できるので、これを満たすxは
>x<-1/2, 4<x (i)となります。

すみません。
x<1/2, 4<x の誤りですね。(#3さんの通り）
以降、「-1/2」としている箇所は全て「1/2」に置き換えてください。

お礼

お答えありがとうございました。
新たにトピを設けましたのでここは締め切らせていただきます。

回答No.3

fushigichan

Love1001さん、こんにちは。
hinebotさんのご回答が出ていますが、

＞2x^2-9x+4＞0・・・(1)

まず、これを因数分解すれば
2x^2-9x+4=(2x-1)(x-4)>0
ですから、xの範囲は
x<(1/2),4<x・・・(1)
となります。

＞x^2-(k+5)x+2k+6＜0・・・(2)

こちらのほうは、因数分解すれば
x^2-(k+5)x+2k+6=x^2-(k+5)x+2(k+3)=(x-2){x-(k+3)}<0・・・（☆）
となりますから、これを満たす範囲は、
2とk+3との大小比較によります。

2-1)2<k+3のとき,すなわち、-1<kのとき
（☆）の解は
2<x<k+3

2-2)k+3<2のとき、すなわち、k<-1のとき
（☆）の解は
k+3<x<2

2-3)2=k+3のとき、すなわちk=-1のとき
(x-2)^2<0となるので、解なし。

となりますね。
さて、(1)(2)が共通解を持たないためには
x<(1/2),4<xという範囲に、2-1)2-2)2-3）が入らなければいいのです。

2-1)のとき、共通部分がないためには
1/2<2はＯＫ
k+3≦4であればよい。
（k+3=4であっても、(1)は<x1/2,4<xですし
(2)は2<x<4となるので、x=4は入らないからです）

2-2)のとき、共通部分がないためには、
2<4はＯＫ
1/2≦k+3であればよい。

2-3)のとき、k=-1であるが、そもそも(2)には解がないので
共通部分はない。
このとき、k+3=-1+3=2は
1/2≦k+3≦4に入っているのでＯＫ．
となって、
＞1/2≦ｋ+3≦4　　であればよい。

これでＯＫだということが分かると思います。

＞(1)かつ(2)の範囲に自然数が一個だけ含まれるためには
5＜ｋ+3≦6　　であればよい。
＞この6はどこからでてきたのでしょうか？

これについては＃１でhinebotさんが回答されているとおりです。
4<x<k+3
という範囲の中に、自然数が１個だけ含まれる、ということは
x=5であればいいのですから

5<k+3
であることはいいと思います。
k+3>6としてしまうと、
4<x<k+3の範囲に、x=5とx=6も解になってしまうので
k+3≦6でなければなりません。
こういうわけで、６が出てきています。

ご参考になればうれしいです。

お礼

丁寧なご回答をありがとうございます。
ほんと、助かります。

ところで、
k=-1という基準は最初、判別式を用いて解いてたときに見つけたのですが、

k=-1のとき (x-2)^2<0となるので、解なし

だからk=-1を基準に考えるんだなと判断してもよいのでしょうか？
k=-1という基準は判別式で解いてたときに偶然に見つけてしまって、
それがたまたま合ってたようでして、このあたりがまだわかりません。

回答No.2

hinebot

#1です。
ちょっと補足追加させていただきます。

>(i)と(ii)を考えた場合、(ii) で既にk+3>2 としてますから
>k+3≦4 の場合だけ考えればよく、同様に(i)と(iii)を考えた場合は、
>k+3≧-1/2 であればよく、両方あわせて、 -1/2 ≦ k+3 ≦ 4 となります。

この部分ですが、(i)を考えた場合＝(a)の場合と、
(ii)を考えた場合＝(b)の場合のみあわせると、正確には
-1/2≦k+3＜2,2＜k+3≦4
となります。で、k+3=2のときは(c)の場合にあたり、
これも題意を満たすので含めてよく、結果として
-1/2 ≦ k+3 ≦ 4 となります。

あと、
>つまり、「"x<-1/2 または 4<x"ではない」⇔「-1/2≦x≦4」であるため
>等号がつくことになります。
この部分ですが、分からない場合はこう考えてみてください。もし、
「"x<-1/2 または 4<x"ではない」⇔「-1/2＜x＜4」
とすると
x=-1/2のときと、x=4のときはどうなるでしょう？
x<-1/2 または 4<x"にも"-1/2＜x＜4"にも入ることができず宙ぶらりんの状態になりますよね。
よって、「境界を含まない」をひっくり返すと「境界を含む」ことになる訳です。

お礼

すいません、この欄に書くのも何ですが、訂正です。
NO.16の質問→No.692038の質問
です。
NO.16の方、もし見てらしたらごめんなさい。とんちんかんな質問をしてるのは私ですm(_ _)m

補足

何度もご回答をありがとうございます。
まさに、かゆいところに手が届くご回答ですね！
わからないところが、パーッと晴れて行くような、そんな感じです。
わからないところを文にして質問するのは難しく、こんな文章で伝わるのかなあと
いつも不安になるのですが、その部分を上手に捉えてくれるhinebotさんの勘の鋭さには
驚かされます。

さて、追加の質問なんですが、
k=-1の基準の求め方なんですけど、これは判別式（実数解が存在するときのパターン）で
解いたら、基準らしきものがでてきたという、曖昧なものなんです。
(2x-1)＾2＜0は成り立たないからk=-1を基準にするものとしてよいのでしょうか？

確認なんですが、

＞k+3=2のときは(c)の場合にあたり、 これも題意を満たすので含めてよく

の部分で、(c)は解なしですよね？この場合も(1)、(2)を同時に満たすxは存在しないという
条件にあてはまるんですよね？それで、「xは存在しない」=解なしもあてはまるというのが不思議
なんですよ。結果として 1/2 ≦ k+3 ≦ 4にあてはまるという、数値的なことはわかるのですが・・・
数値的にあてはまればOKと覚えておけばいいですか？

最後の自然数を求める部分なんですが、
4＜k+3≦6とならないのは、もっと条件の的を絞って、
5＜k+3≦6となるのでしょうか？
ただ、「≦6」となるのが疑問なんです。
5＜k+3＜6なら自然数は一つだけ含むと納得できるんですが、
「≦6」となればk+3は5か6になるという、自然数の候補が二つ存在することにならないんですか？

ん～・・・、こういった場合分けの問題は質問No.16にもとんちんかんな質問をしてるんですが、
場合分けの条件が思いつかない、条件もれをしてるんじゃないかなどと、苦手です。