ホームページ上のメールアドレスはフリーメールのアドレスではだめ？

質問

ホームページでネット販売をしようと思っています。gooの無料ホームページを使わせていただこうかと思って考えているのですが、注文を頂くのはメールで知らせていただいて、こちらからもメールで支払方法や金額なんかをお知らせして取引を成立させたいと考えています。ただ、普段は会社勤めをしているため、家のパソコンのメールアドレスをホームページ上に書くと夜にしかチェックができません。（外出先でもチェックができるような物を買ったらいいのでしょうが、今は予定がありません。）ですが、会社のパソコンを自由に使うことができるので今現在持っているgoo等のフリーメールのアドレスをホームページ上に使うと昼間でもメールのチェックをすることができるので、そうしたいなぁと考えています。ですが、そうするとなんだか「フリーメール」というのは、信用性が薄いような気がするのです。どんなものでしょうか？？？
どなたかアドバイスをいただけませんでしょうか。