無理数の整数部分と小数部分

質問

整数部分の解説が理解できないのですがどういうことでしょうか？
最初の√4と√9はどこから出てきたのでしょうか？

回答No.5

kiha181-tubasa · ベストアンサー

この解答のキモは、右端のヒントにある「無理数を整数で挟む」と言うことにあります。この整数は差が１の整数です。
ですから模範解の最初の√4<√7<√9に惑わされる必要はありません。この１行は邪魔です。

近似値を知っていますね。
√7=2.64575……（菜に虫いない）
これから√7は２と３の間の数であることがわかります。
ですから直接「2<√7<3であるから」と書き始めて良いのですよ。
以下の解答の内容については理解されていると判断して、以下は略します。
※　ヒントの「少数部分＝もとの数ー整数部分」もキモですよ。

お礼

なるほど！ありがとうございます！

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回答No.8

chie65535

因みに。

ｎ未満の最大の平方数の平方根＜ｎの平方根＜ｎより大きい最小の平方数の平方根

の不等式が成り立つのは

ｎ未満の最大の平方数＜ｎ＜ｎより大きい最小の平方数

が成り立つからです。

つまり

４＜７＜９

という不等式が成り立つから

√４＜√７＜√９

という不等式も成り立つ、という事を利用しているのです。

ここで重要なのは「４と９が平方数である」つまり「√を付けても整数になる」という事実です。

で、

√４＜√７＜√９

という不等式は「√７が、２よりも大きくて、３よりも小さい」ということ、つまり「√７は２と３の間にある」という事を、言い換えれば「√７の整数部は２である」と言う事を示しているのです。

回答No.7

chie65535

＞最初の√4と√9はどこから出てきたのでしょうか？

ｎが平方数でない時、√ｎの整数部分を求めるには

ｎ未満の最大の平方数の平方根＜ｎの平方根＜ｎより大きい最小の平方数の平方根

という不等式を作り「ｎ未満の最大の平方数の平方根」が「√ｎの整数部分」になります。

平方数とは１、４、９、１６、２５…のように、正の整数を２乗した値です。

で、「７以下の最大の平方数」は「４」、「７より大きい最小の平方数」は「９」になり、

√４＜√７＜√９

という不等式が作れます。

√４と√９を整数に直せば

２＜√７＜３

になり「√７の整数部は２である」という事が判るのです。

同様に、√12946の整数部を求めるには

√12769＜√12946＜√12996

という不等式を作り、√12769、√12996を整数に直し

113＜√12946＜114

という不等式にすれば「√12946の整数部は113」と判ります。

これが「√４と√９が出てきた理由」です。

回答No.6

m-take0220

nを整数としたとき、

n < √7 < n+1

となれば、√7の整数部はnだとわかります。
このままではnと√7の大小関係が分かりづらいので、n=√n^2、n+1=√(n+1)^2を使えば

√n^2 < √7 < √(n+1)^2

となり、

n^2 < 7 < (n+1)^2

であればよいことがわかります。
あとは、nに整数を当てはめていって、条件満たすものを見つければよく、n=2のときに

√4 < √7 < √9

であることが導けます。

今回は√7が対象のため、整数部は2であることを念頭に置いた回答が散見されますが、では、例えば√533だったらどうするのか、ということなります。2桁の整数の2乗くらいであれば筆算で出せるので、答えにたどり着けるはずです。

回答No.4

maskoto

別に√4や√9である必要はない
√7の7を挟み込める6と8を用いて
√6<√7<√8
などとしても良い！
でも、も゙これだと問題がある
√6や、√8って小数にすると幾つ？
となってしまう…
計算機、または√6＝2.44949(煮よ、良く良く)などと言う数字の暗記をしていれば、小数になおすことは可能(開平の計算やニュートン法などでも小数になおすことは可能)
だが、そんなの面倒い
そこで、挟み込む数字をもう少しズラすわけです
左右とも数字をズラして
√4<√7√9
としてやれば、計算機などを用いずとも
√7を挟み込む数字が整数で幾つになるか、簡単に分かり
√4<√7√9↔2<√7<3
が楽に導けると言うわけです(⁠^⁠^⁠)

回答No.3

sknbsknb2

最初に、√7は自然数のうち、どれとどれの間の値を持つかを考えます。
(1)√7より小さくて自然数である(√が簡単に外せる)のは√4=2
(2)√7より大きくて自然数であるのは√9=3

ということで、2<√7<3が導かれ、√7の整数部が2に確定します。

回答No.2

asciiz

＞最初の√4と√9はどこから出てきたのでしょうか？

√4 ＝ 2の2乗の平方根
√9 ＝ 3の2乗の平方根

ということで、その間である√7を実際の小数にすると 2.△○□… になるだろう、という予測ができました。
なので、整数部は2。(＝a)

小数部は、0.△○□… の部分となりますが、無理数(小数部が無限に続く)なので実際の数値では書けません。
そこで、√7 ＝ 2.△○□… から整数部である 2 を引けば、0.△○□… という小数部の値を取り出せることになります。(＝b)

a,b が求まったので、最後は単純な計算問題です。

回答No.1

fu5050

√4も√9も整数部分しかなく、かつ√7を挟むからですね。