対称式、交代式の因数

質問

対称式･･･ a.b.cの対称式は, a + b b + c c + a の うちの1つが因数ならば、他 の2つも因数である。
交代式･･･a. bの交代式は、因数a-bをもち, a. b. cの交代式は、因数 a - b b - c c - a を もつ。
という説明がプリントにあったのですが、なぜそういえるのかわかりません。また、(x＋y＋z）^3－（x^3＋y^3＋z^3）の因数分解の解説で、x、y、zの対称式である。たとえば式全体を（x＋y）や（y＋z）でくくることを意識する。とあったのですが、意味がわかりません

回答No.2

maskoto

対称式とは、どの２つの文字を入れ替えても元の式と同形になる式の事

ある対称式Fが(a+b)で割り切れたとする
それは、対称式Fが(a+b)を因数に持つと言うことを意味するから
このとき、
F＝(a+b)G…(ただし、Gはa、b、cの文字式を表す)
と因数分解できることになる
ここで元の対称式Fの
文字aをBに、
文字bをCに
入れ替えてみる(大文字にしたのは、
説明の都合上、入れ替え前後のエー、ビー、シーの区別を明確にするためであって、
実際は文字aをbに、文字bをcに入れ替えることを試みる)
対称式は文字入れ替え後も同形だから
Fは文字入れ替え後もFの形のままであり
右辺は(B+C)G'にかわるから
F＝(B+C)G'…(ただしG'は、エー、ビー、シーの文字式)
となる
これは、Fは
B+Cも
(b+cも)
因数に持っていることを意味している
同様に文字入れ替えによって
F＝(c+a)G''となるから
Fはc+aも因数にもつといえる
これが、プリントにある因数の関数説明です
ま、でもざっくりと
対称式では、aとbとcがなんというか等価なのだから
a+bが因数なら等価なbとcを入れ替えた
a+cも因数だろうし
aとbを入れ替えてc+bも因数だろうな
と言うのは、直感的に分かりそうです…

交代式についても
先程同様に文字入れ替えの前後の式を作れば、プリントに書かれているとおりだとわかります

次に
(x＋y＋z）^3－（x^3＋y^3＋z^3)＝U
の因数分解
まともに展開してから因数分解するのもありだと思います
プリントの指針だと
x+y＝Ｖとおいて
U=(x+y+z)^3-(x^3+y^3)-z^3
=(x+y+z)^3-{(x+y)^3-3xy(x+y)}-z^3
=(Ｖ+z)^3-Ｖ^3-z^3+3xy(x+y)
＝3ＶZ(Ｖ+Z)+3xy(x+y)
＝3ＶZ(Ｖ+Z)+3xyＶ
＝3Ｖ{Z(Ｖ+Z)+xy}
＝3Ｖ{Z²+(x+y)Z+xy}
＝3Ｖ{(Z+x)(Z+y)}
＝3(x+y)(y+Z)(Z+x)
となりそうですが…
思い付きにくい式変形かもしれません…

回答No.1

gamma1854

ｎ個の文字の整式、有理式でその中の任意の２文字を交換しても変わらない式を対称式と言います。
x^2+y^2+z^2, xy+yz+zx, x+y+z はそれぞれ x, y, zの対称式です。
一方、ｎ個の文字の整式、有理式でその中の任意の２文字を交換するともとの式と符号だけ違った式になるものを交代式と言います。
a-b はa, bの交代式、(x-y)(y-z)(z-x) はｘ,ｙ,ｚの交代式です。
-----------------
この定義から、そのようなことを言ったのでしょう。