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因数分解の対称式について

チャート式の例題ですが、 a(b+c)ⅱ+b(c+a)ⅱ+c(a+b)ⅱ-4abc 2乗はローマ数字にしてます。 この式を因数分解せよ、とのことですが解答を見ても意味不明で隣のページの対称式とは?というのをみても全然わかりません。 どなたかわかりやすく説明してください。お願いします。

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  • 回答No.4
  • Kules
  • ベストアンサー率47% (292/619)

まじめな解答はみなさんがすでに出されているので、ちょっと卑怯な解答を示したいと思います(途中式がないので解答にはまず書けません、答えの確認用とでも思ってください。) 対称式とは(違っているかも知れませんが)「どの2つの文字を入れ替えても元の式と同じになるか、あるいはもとの式の逆符号になる」というものです。(というかそういう解釈でみてやります)実際なってますよね? そうすると、今回は同符号なのでa=-bと仮定してやると、この式の値は0になります。同様に、b=-c,c=-aを代入しても0になります。(ちなみに逆符号の時はa=bを仮定したりします) ということは、(与式)=0を考えると、この式はa=-b,b=-c,c=-aを解とするので与式は(a+b),(b+c),(c+a)を因数に持つということです(この辺りは数IIをやってないときついかも知れません。まあ出てきた時にでも思い出してください) さらに、この式は3次式で、(a+b)(b+c)(c+a)も3次式なので、結局この式の因数分解の結果は(a+b)(b+c)(c+a)になります。 おお!式を一切展開することなく(ちょこっと文字をいじるだけで)因数分解できた! くれぐれも言いますが、解答用紙には書かないで下さいね。あくまでも確認用ということで…あとは答えしか書かないテストとか。

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  • 回答No.3
noname#231526

 1項目を展開しないやり方で、丁寧にやってみました。  a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 - 4abc      ここで、最後の-4abcを-2abc-2abc2つに分けて並べ替えます。 = a(b + c)^2 + {b(c + a)^2 - 2abc} + {c(a + b)^2 - 2abc}     ここで、2項目はb を括りだし、3項目はcを括り出します。 = a(b + c)^2 + b{(c + a)^2 - 2ac} + c{(a + b)^2 - 2ab}     2項目と3項目の( )^2 を展開すると-2ac、-2abの項が消えます。 = a(b + c)^2 + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2)     ここで、2項目と3項目を展開して並べ替えます。 = a(b + c)^2 + bc^2 + cb^2 + ba^2 + ca^2     2~3項目はbcを、4~5項目はa^2を括り出します。 = a(b + c)^2 + bc(c + b) + (b + c)a^2     3項全てから(b+c)を括り出します。 = (b + c){ a(b + c) + bc + a^2}     右側の大括弧の中の項の順番を整えます。 = (b + c)^2{ a^2 + a(b + c) + bc}     右側の大括弧の中を因数分解します。 = (b + c) (a + b) (a + c)     完了です。

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  • 回答No.2

なんの事はない。単純に展開して、aにそろえると、 (b+c)*a^2+(b+c)^2*a+bc(b+c)=(b+c)*{a^2+(b+c)a+bc}=(a+b)*(b+c)*(c+a) 考え過ぎ?  w

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質問者からのお礼

すみません (b+c)*a^2+(b+c)^2*a+bc(b+c) がどうやってできたのかわかりません。

質問者からの補足

できました!ありがとうございます! チャート式には最初のa(b+c)^2は展開しないと書いていたんですが、展開する方が簡単に理解できました。

  • 回答No.1

a+b+c=x、ab+bc+ca=y、abc=zとする。 a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2-4abc=a(x-a)^2+b(x-b)^2+c(x-c)^2-4abc=展開して=(a+b+c)*x^2-2(a^2+b^2+c^2)*x+(a^3+b^3+c^3-3abc)x-abc=(a+b+c)*x^2-2(a^2+b^2+c^2)*x+(a+b+c)*(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)x-abc=x^3-2(x^2-2y)x+x(x^2-3y)-z=xy-z。 xy-z=(a+b+c)*(ab+bc+ca)-abc=展開して=(b+c)*a^2+(b+c)^2*a+bc(b+c)=(b+c)*{a^2+(b+c)a+bc}=(a+b)*(b+c)*(c+a)

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