因数分解の対称式について

質問

チャート式の例題ですが、
a(b＋c)ⅱ＋b(c＋a)ⅱ＋c(a＋b)ⅱ-4abc
２乗はローマ数字にしてます。
この式を因数分解せよ、とのことですが解答を見ても意味不明で隣のページの対称式とは？というのをみても全然わかりません。
どなたかわかりやすく説明してください。お願いします。

回答No.4

Kules

まじめな解答はみなさんがすでに出されているので、ちょっと卑怯な解答を示したいと思います(途中式がないので解答にはまず書けません、答えの確認用とでも思ってください。)
対称式とは(違っているかも知れませんが)「どの２つの文字を入れ替えても元の式と同じになるか、あるいはもとの式の逆符号になる」というものです。(というかそういう解釈でみてやります)実際なってますよね？
そうすると、今回は同符号なのでa=-bと仮定してやると、この式の値は０になります。同様に、b=-c,c=-aを代入しても０になります。(ちなみに逆符号の時はa=bを仮定したりします)
ということは、(与式)=0を考えると、この式はa=-b,b=-c,c=-aを解とするので与式は(a+b),(b+c),(c+a)を因数に持つということです（この辺りは数IIをやってないときついかも知れません。まあ出てきた時にでも思い出してください）
さらに、この式は３次式で、(a+b)(b+c)(c+a)も３次式なので、結局この式の因数分解の結果は(a+b)(b+c)(c+a)になります。
おお！式を一切展開することなく(ちょこっと文字をいじるだけで)因数分解できた！
くれぐれも言いますが、解答用紙には書かないで下さいね。あくまでも確認用ということで…あとは答えしか書かないテストとか。

回答No.3

noname#231526

１項目を展開しないやり方で、丁寧にやってみました。

　a(b + c)^2 + b(c + a)^2 + c(a + b)^2 - 4abc　
　　　　ここで、最後の-4abcを-2abc-2abc２つに分けて並べ替えます。
= a(b + c)^2 + {b(c + a)^2 - 2abc} + {c(a + b)^2 - 2abc}
　　　　ここで、２項目はb を括りだし、３項目はcを括り出します。
= a(b + c)^2 + b{(c + a)^2 - 2ac} + c{(a + b)^2 - 2ab}
　　　　２項目と３項目の( )^2 を展開すると-2ac、-2abの項が消えます。
= a(b + c)^2 + b(c^2 + a^2) + c(a^2 + b^2)
　　　　ここで、２項目と３項目を展開して並べ替えます。
= a(b + c)^2 + bc^2 + cb^2 + ba^2 + ca^2
　　　　２～３項目はbcを、４～５項目はa^2を括り出します。
= a(b + c)^2 + bc(c + b) + (b + c)a^2
　　　　３項全てから(b+c)を括り出します。
= (b + c){ a(b + c) + bc + a^2}
　　　　右側の大括弧の中の項の順番を整えます。
= (b + c)^2{ a^2 + a(b + c) + bc}
　　　　右側の大括弧の中を因数分解します。
= (b + c) (a + b) (a + c)
　　　　完了です。

回答No.2

mister_moonlight

なんの事はない。単純に展開して、aにそろえると、

（b＋c）*a＾2＋（b＋c）＾2*a＋bc（b＋c）＝（b＋c）*{a＾2＋（b＋c）a＋bc}＝（a＋b）*（b＋c）*（c＋a）

考え過ぎ？　　ｗ

お礼

すみません
（b＋c）*a＾2＋（b＋c）＾2*a＋bc（b＋c）
がどうやってできたのかわかりません。

補足

できました！ありがとうございます！
チャート式には最初のa(b＋c)^2は展開しないと書いていたんですが、展開する方が簡単に理解できました。

回答No.1

mister_moonlight

a＋b＋c＝x、ab＋bc＋ca＝y、abc＝zとする。
a(b＋c)＾2＋b(c＋a)＾2＋c(a＋b)＾2-4abc＝a(x-a)＾2＋b(x-b)＾2＋c(x-c)＾2-4abc＝展開して＝（a＋b＋c）*x＾2－2（a＾2＋b＾2＋c＾2）*x＋（a＾3＋b＾3＋c＾3-3abc）x-abc＝（a＋b＋c）*x＾2－2（a＾2＋b＾2＋c＾2）*x＋（a＋b＋c）*（a＾2＋b＾2＋c＾2-ab-bc-ca）x-abc＝x＾3-2（x＾2-2y）x＋x（x＾2-3y）-z＝xy-z。

xy-z＝（a＋b＋c）*（ab＋bc＋ca）-abc＝展開して＝（b＋c）*a＾2＋（b＋c）＾2*a＋bc（b＋c）＝（b＋c）*{a＾2＋（b＋c）a＋bc}＝（a＋b）*（b＋c）*（c＋a）