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因数分解
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先ずは、多項式の次数と対称式・交代式について、しっかりと理解することが大切なようですね。 >1)の交代式は、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもつことを覚えておけば良いのでしょうか? そうです。x、y、zの交代式は必ず、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもつと覚えておきましょう。 ただし、交代式の場合だけです。対称式の場合には当てはまりません(因数に持つ場合も持たない場合もありますし、そもそも因数分解できない場合もあります)。 >7)、8)で代入している数値はどこから求められてきたのでしょうか? これらの数値は任意なので何を持ってきてもかまいません。ただ、計算を簡単にするために、どれかを0にすることはよく採られる方法で7)はその例です。8)のケースは、因数(x - y)(y - z)(z - x)の計算は(0以外で)1つ違いの値を入れたほうが楽になると思えるからです。 >後、例えばこの式が >x(y-z)^4+y(z-x)^4+z(x-y)^4 >のように4次であった場合の g(x,y,z) は、 >g(x,y,z)=a(x + y + z)^2 + b(xy + yz + zx) + cxyz >となる? ここには2つの誤りがあります。 一つは与式の次数が5であること、もう一つは与式は対称式であることです。 x、y、zの対称式とは、x、y、zのうちのどの2つを入れ換えても式が不変である式のことです。 また、x、y、zの交代式とは、x、y、zのうちのどの2つを入れ換えても式の符号(プラス・マイナス)が反転する式のことで、もっとも簡単なものは(x - y)(y - z)(z - x)です。 ですから、次の関係が成り立ちます。 (対称式)=(対称式)×(対称式)、または、=(交代式)×(交代式) (交代式)=(交代式)×(対称式) 対称式を「+」、交代式を「-」とイメージすれば簡単に覚えられますよね。 この問題のケースでは、交代式ではないので因数の当てがありません。対称式で考えると5次なので、与式は a(x + y + z)^5 + b(x + y + z)^3×(xy + yz + zx) + c(x + y + z)^2×xyz + d(x + y + z)(xy + yz + zx)^2 + e(xy + yz + zx)xyz と置き換えることになります。 ちなみに、与式は次のようになりました。 = (x + y + z)(xy + yz + zx){(x + y + z)^2 - 3(xy + yz + zx)} - 9xyz(x + y + z)^2 + 27xyz(xy + yz + zx) = {(x + y + z)(xy + yz + zx)-9xyz}{(x + y + z)^2 - 3(xy + yz + zx)} >また、3次の場合は、 >g(x,y,z)=a(x + y + z) + b(xy + yz + zx) + cxyz >となる? 3次といわれるものは、4次のx(y-z)^3+y(z-x)^3+z(x-y)^3の誤りであるとしてお答えします。 この問題では、与式は交代式ですので、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもちます。それ以外の因数を質問者のようにg(x,y,z)と置けば、g(x,y,z)は、 g(x,y,z) = a(x + y + z) になります。 x、y、zの次数というのは、x、y、zを任意の組み合わせでいくつ掛けているかを示すものです。ですから、x + y + zは1次ですし、xy + yz + zxは2次、xyzは3次です。 この問題では、g(x,y,z)は1次なので、1次のものしかもち得なえません。 >6次の場合は、 >g(x,y,z)=a(x + y + z)^4 + b(x + y + z)^2(xy + yz + zx) + cxyz >となる? この問題の場合も、7次で与式がx(y-z)^6+y(z-x)^6+z(x-y)^6の誤りであるとしますと、この場合も上記の5次(質問者が4次と書いているもの)と同様に、対称式です。対称式の考えで解こうとすると与式を次のように置き換えることになります(この方法で因数分解できるのだろうか?)。 a(x + y + z)^7 + b(x + y + z)^5×(xy + yz + zx) + c(x + y + z)^4×xyz + d(x + y + z)^3×(xy + yz + zx)^2 + e(x + y + z)^2×(xy + yz + zx)×xyz + f(x + y + z)(xy + yz + zx)^3 + g(x + y + z)×(xyz)^2 + h(xy + yz + zx)^2×xyz ちなみに、私は挫折しました。分かる人がいたら教えて欲しいものです。 以上のことを眺めますと、対称式や交代式の考え方で解けて計算がさほど複雑にならない、当初の6次の式が問題として相応しいことが分かりますか? 出題者の意図はそこにあると思われます。
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- lick6
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ある整式Pに対して文字を入れ替えたとき(x→y,y→x)としたとき Pとなるものを対称式 -Pとなるものを交代式 というのが定義だったはずです。 対称式の性質は基本対称式で必ず表せるというものです。 基本対称式というのは x + y , xy や x + y + z , xy + yz + zx , xyz といったものです。 例)x^2 + 3xy + y^2 = (x + y)^2 + xy 交代式の性質は(x - y)や(y - z)といったものを因数に持つということです。 これは因数定理を使って説明できます。 例えば問題を f(x,y,z) = x(y - z)^5 + y(z - x)^5 + z(x - y)^5 とすると f(x,x,z) = 0 (x = y としたとき)であるから(x - y)を因数に持つ 同様に f(x,y,y) = 0 より (y - z) を因数に持つ f(z,y,z) = 0 より (z - x) を因数に持つ 逆に三文字のとき「xとyについては交代式」ということもあります。 そのときは当然(x - y)しか因数に持ちません
- Mr_Holland
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回答が書かれているサイトがありましたので、こちらを参照してください。 答えは次のようになっていました。 = (x - y)(y - z)(z - x)((x + y + z)^3 - 2(x + y + z)(xy + yz + zx) - 9xyz) = (x - y)(y - z)(z - x)(x^3 + y^3 + z^3 + yx^2 + zx^2 + xy^2 + xz^2 + zy^2 + yz^2 - 9xyz) 解法の要点をまとめると次の通りです。 1)交代式であることから、(x - y)(y - z)(z - x)を因数にもつ。 2)与式の(x - y)(y - z)(z - x)以外の因数は対称式である。 3)x, y, zの対称式は(x + y + z)、(xy + yz + zx)、xyzだけで表すことができる。 4)与式の次数は6なので、与式の(x - y)(y - z)(z - x)以外の因数の次数は3である。 5)3)と4)から、与式の(x - y)(y - z)(z - x)以外の因数をa(x + y + z)^3 + b(x + y + z)(xy + yz + zx) + cxyz と置く。 6)与式と因数分解した式は恒等式なので、任意のx、y、zで成り立たなければならない。 7)そこで、x = 0としてみる。⇒ aとbが求められる。 8)次に、x = 1、y = 2、z = 3を入れてみる。 ⇒ cが求められる。
- Ce_faci
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こんばんわ まず、この手の高次元の因数分解は、項べきの順に並べ替えるのが鉄則と思います。それを踏まえて。 対象式とは、 (a+b)の1乗、2乗、3乗、4乗…としたときの係数を並べてみましょう。 1乗 1 1 2乗 1 2 1 3乗 1 3 3 1 4乗 1 4 6 4 1 つまり 5乗 1 5 10 10 5 1 となります。なんと上の段の2数を足すと係数になるのです(1+3=4)。ただし、マイナスが付いている場合は、(-△)のナントカ乗ですので、符号に気をつけてください。 これで x(y-z)^5 の展開は楽になりますね。 次に交代式ですが、私の中ではサイクリック(回転)と呼んでおります。x→y→z→xを繰り返すのです。 すなわち、2項目の y(z-x)^5 は、1項目の x(y-z)^5 のxをyに置き換え、yをzに置き換え、zをxに置き換えている見かたが出来ますね。ならば、展開は x(y-z)^5 の展開を真似しながらxyzを置き換えていけば楽ですね。3項目は2項目を置き換えたと察しが付きますね。これで展開は出来るはずです。 あとはx5乗、4乗、3乗、と項べきの順にすれば、驚き!!1項目のx(y-z)^5 は展開したのに元に戻るかもですね。暗算で2項目と3項目のx1乗の項は消えると分かりますか?ならば、はじめからx1乗の項は1項目にしか存在しない、となります。途中からy-z=Aと置き換えにも気づきますか?
補足
回答ありがとうございます。 展開のところのサイクリックの部分が良くわからないのですが・・・。 1項目の x(y-z)^5 をxをyに置き換え、yをzに置き換え、zをxに置き換えると、 y(z-x)^5 ということですか? 1項目、2項目、3項目すべて置き換えると結局同じ式に戻りますよね? う~~ん頭が・・・。 教えてもらっていて申し訳ないのですが、交代式の簡単な例を示してもらえると嬉しいです。
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