有理数の切断の積について

質問

√2を定義する上の集合から任意にa,bを取って、その積の集合をCとした時Cの任意の元は2より大、かつその数より大であるすべての有理数はCの元であり、Cのどの元を取ってもそれより小である数がCに含まれる。までは判りますが、（Cは2より大であるすべての有理数を含む。）が判りません。初歩的な質問とは思いますがよろしくお願いします。

回答No.5

tmppassenger · ベストアンサー

> 1番目の＜は ＝もくっつくのではと思いました。
については、確かにそうです。

Peanoの公理に関する件では、Nを整数全体、Mを正整数全体とかで考えてみると良い。

回答No.4

tmppassenger

2つ分かっている必要がある。

1. まず有理数体や実数体は 「Archimedes的」である。実際、有理数体からDedekindの切断を使って実数体を構成する時、「加法で逆元が存在すること（任意の実数aに対し、a+b=0なるbが存在すること）」「0以外の実数に対し、乗法で逆数が存在すること」の証明に、有理数体が Archimedes的であることを使っているはず（もう一回証明を見てみましょう）。

有理数体がArchimedes的、という事実は、こういう問題において「分母の大きい有理数を使えば、任意の精度で近似出来るはず」という方針に使われる。

2. 自然数全体は、Peanoの公理が成立する。これは、
2-a 自然数全体では数学的帰納法が成立する、ということでも使われる。この2-aを変形したものとして、
2-b 自然数全体は「整列集合」である、という事が成り立つ。この事もよく使われる。

さて、証明を書く。結局は、「すごく大きい分母 m をとって、1/m, 2/m, 3/m, ..... と分子を1ずつ大きくしていけば、いつか 2 < (k/m)^2 < 2+e となるようなものが見つかるはず」、という直感的には成り立ちそうなことを、ちゃんと数学の言葉で書く、ということをしているだけ。

Nを自然数全体からなる集合、Qを有理数体とする。
eを任意の有理数とする。QはArchimedes的であるから、ある自然数mが存在して m > 1 + (4/e) となる。

(2m /m)^2 = 4 > 2 であるから、Nの部分集合 G = {j ∈N | (j/m)^2 > 2} は空でない。Nは整列集合であるから、Gには最小元が存在するので、それを kとする。
◯ つまり、kを (k/m)^2 > 2を満たすような自然数の中で最小の数とする、ということ。
(0/m)^2 = 0 < 2 であるから、k≧1（実際 k>m)、従って k-1も自然数（k-1≧0)。(2m /m)^2 = 4 > 2であったから、k≦2m。
また、kの取り方（kの最小性）により、( (k-1)/m )^2 ≦ 2。

さて、(k/m)^2 - ( (k-1)/m )^2 = (1/m)^2 * (2k-1) < (1/m)^2 * (4m-1) < (4m/m) * (1/m) = 4 * (1 / (1 + 4/e) ) < e 。
よって、(k/m)^2 < ( (k-1)/m )^2 + e ≦ 2 + e。

よって正の有理数 r = k/mに対し、2 < r^2 < 2+e が成立する。

お礼

ご教示ありがとうございました。再々度熟読いたします。それから、証明の中で、
さて、(k/m)^2 - ( (k-1)/m )^2 = (1/m)^2 * (2k-1) < (1/m)^2 * (4m-1) < (4m/m) * (1/m) = 4 * (1 / (1 + 4/e) ) < e 。
よって、(k/m)^2 < ( (k-1)/m )^2 + e ≦ 2 + e。の1番目の＜は
＝もくっつくのではと思いました。もう一つ質問させてください。ペアノの帰納法公理が省かれる、または否定された場合M(⊂N)が（1）1∊M,（２）ｘ∊M⟶x‘∈Mであるにも関わらずM=Nではないとなると、N−Mは空集合ではない。つまりNは1から始まる数列以外に雑多なもの例えばaとか甲とかを含むと考えていいのでしょうか？

回答No.3

tmppassenger

ついでに逆向きの包含関係も書いておくと、z∈Cを取れば、あるs,t∈Aが存在して z = stとなる。s,tは有理数（zも有理数）、s,t>0、よってz>0。s^2 >2, t^2>2であったから、z^2 = (st)^2 > 4, 従って z>2であるから、z∈ {u∈Q | u>2}。よってC⊂ {u∈Q | u>2}。これで逆向きの包含関係もok.

で、繰り返しになりますが、先程の補題を考えてみてください。

お礼

当方、凡才ゆえ日暮れて途遠しですけど、定積分の定義、円周の長さまでは辿り着きたいと思っています。重ねてありがとうございました。

補足

補題はやはり判りませんでしたが、近い様な事は多分わかります。C={q∣q>0,q^2>2,q∊Q}、a∊C、ｘ>0とすると。x^2>0
(a-x)^2=a^2-2ax+x^2>a^2-2ax。a^2-2ax>2となるxの範囲はx<(a^2-2)/2a。よって、0<x<(a^2-2)/2である有理数ならば、逆向きに辿って、(a-x)^2>2．つまりCには最小有理数は無い。補題はやはり判りそうもないですので、教えて頂きたいです。後の証明は追えると思います。丁寧な御指導ありがとうございました。

回答No.2

tmppassenger

うーん、本当は

A= { x∈Q | x>0かつx^2 > 2} ですね... （あなたが書いたAだと、-2とか-3とかの負の数もAに属してしまう）
で、C = { x∈Q | ∃a∃b (a∈A, b∈A s.t. x = ab) }

次の補題が決定的。

◯ eを任意の正の有理数とするとき、ある正の有理数 rが存在して、2< r^2 < 2+e となる。

これを示してみてください。補足に下さい。（分からないことがあったら、それも詳しくお願いします。）

上の補題を示す事が出来れば、任意の正の有理数 eを取った時、2< r^2 < 2+e なる正有理数がある。このrはAの元であり、r^2はCの元。
s = (2+e) / rとおけば、s>0 かつ s/r = (2+e) / (r^2) > 1より s>r よって、sもAの元、srはCの元でsr = 2+e。
eは正の有理数であったから、C⊃ { 2+e | e>0, e∈Q } = { r∈ Q | r > 2} となる。逆向きの包含関係は、楽に示せるはず。

回答No.1

tmppassenger

うーん...
Dedekindによる有理数体の切断に関する議論を言っていると思いますが：
◯ まず「√2を定義する上の集合」というのが（何となく意味は分りますが）何なのか分りません。具体的に例えば内包的表記とかを使って書いてください
◯ 「Cのどの元を取ってもそれより小である数がCに含まれる」となると、Cは有理数体全体か空集合、という意味に見えます。正確に書いてください。

補足

A={x∣x^2>2,x∊Q} C={a∗b∣a∈A,b∈A}とするとＣ={x∣x>2,x∊Q}となるのが判りません。平たく言うと√2∗√2＝2を有理数の切断の積での証明はどうなるのかなという疑問です。例えば、a∗a>2,b∗b>2よってa∗b>2,またAには最小有理数は無いからCにも無い。Cは切断の上の組、その補集合は下の組となりますから｛C,Q∕C｝＝2と思いますけど