複素数平面と極形式 202

質問

複素数α=1+√3i,β=1-√3iとする。
(1)1/α^2+1/β^2の値を求めよ。
(2)α^8/β^7の値を求めよ。
(3)z^4=-8βを満たす複素数zを求めよ。

この問題を解いてください。お願いします。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

＞複素数α=1+√3i,β=1-√3iとする。

極形式に変形すると
α = 2 (cos (π/3) + i sin (π/3) )
β = 2 (cos (-π/3) + i sin (-π/3) )

(1)1/α^2+1/β^2の値を求めよ。

α^(-2) + β^(-2)
= 2^(-2) (cos (-2π/3) + i sin (-2π/3) ) + 2^(-2) (cos (2π/3) + i sin (2π/3) )
= { (-1/8) - (√3/8) i } + { (-1/8) + (√3/8) i }
= -1/4

(2)α^8/β^7の値を求めよ。

α^8 = 2^8 (cos (8π/3) + i sin (8π/3) )
β^7 = 2^7 (cos (-7π/3) + i sin (-7π/3) )
(α^8) / (β^7) = { (2^8) / (2^7) } (cos (15π/3) + i sin (15π/3) )
= 2 (cos (5π) + i sin (5π) )
= -2

(3)z^4=-8βを満たす複素数zを求めよ。

z^4 = -16 (cos (-π/3) + i sin (-π/3) )
z^4 = 16 (cos (2π/3) + i sin (2π/3) )
z = r (cosθ + i sinθ) とおくと
z^4 = r^4 ( cos(4θ) + i sin(4θ) )
よって
r^4 = 16 , 4θ = (2π/3) + 2nπ（nは整数）
r = 2 , θ = (π/6) + (n/2)π
よって
z = 2 (cos { (π/6) + (n/2)π } + i sin { (π/6) + (n/2)π } ) (n = 0 , 1 , 2 , 3)
より
z = √3 + i , -1 + √3 i , -√3 - i , 1 - √3 i

お礼

ありがとうございました。