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複素数平面の問題で・・・
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複素平面上での点Ｐを考えます。点Ｐのｘ成分をａ、ｙ成分をｂとすると、点Ｐは ｚ＝ａ＋ｂi，（但しａ，ｂは実数） (1) と書けますね。 |z|というのは原点から y 点Ｐまでの距離と定義 ｜ Ｐ されますから、三平方 ｂ｜ ●（ｚ） の定理により ｜ －－－－－－－－－－－ｘ ０｜ ａ |z|＝√(a^2＋b^2) (2) となります。 １）さて、与式の複素数を変形すると ｚ＝(1+ti)／(1-ti)＝(1+ti)(1＋ti)／(1ーti)(1＋ti) ＝(1-t^2)／(1+t^2)＋2ti／(1+t^2) (3) となって、実部と虚部に分けることができます（ここでｔは実数という条件を使っています。実数でなければどうなるか、考えてください。ヒント：ｔが虚数なら(3)の式はさらに計算を進めないといけない）。ここまでくれば(1)と同じですから(2)を使って丹念に計算すると |z|＝1 (4) が得られます（←TRYしてみてください） ２）|z|＝1ということは距離ＯＰが１ということですから、複素数ｚは半径１の複素平面上の円周上にあるということになりますね。したがって(1)より －1≦ａ≦1，－1≦ｂ≦1 (5) となります（←絵を書けば分かる）。 (1)と(3)より ａ＝(1-t^2)／(1+t^2) (6) ｂ＝2t／(1+t^2) (7) となりますね。(6)より t^2＝(１－ａ)／（１＋ａ） (8) ａは(5)の条件を満たすから(8)式の右辺は正となり、したがってｔは実数となります（2乗して負であれば虚数となる）。 ついでに(7)より t^2－(2/ｂ)t＋1＝０ (9) これの判別式をＤとすると、ｂは(7)の条件を満たすから Ｄ＝(1/b)^2－１≧０ (10) つまり、tは実根を持つことになり、ｔは実数であることになります。
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- ONEONE
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＃１です。 まちがえました！！ ＞ｔが虚数だとしてｔ＝ki（ｋ≠0、ｋは実数）・・・**とおいてみる。 これあかんです。虚数でないことしか示してない・・・。
- ONEONE
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z＝(1＋ti)/(1－ti) （１） 分母を有利化してください。 実部と虚部に分けて→絶対値をとってください。 いい感じにｔが消えて、示されます。 （２） |z|=|(1＋ti)/(1－ti)|=1 ⇔|1＋ti|=|1－ti｜・・・＊ ｔが虚数だとしてｔ＝ki（ｋ≠0、ｋは実数）・・・**とおいてみる。 ＊は|1-k|＝|1+k| となるがこれはk=0のときのみ成り立つが**に反する。 よってｔは実数。
お礼
わざわざありがとうございます！解くことができて気持ちがすっきりしました。本当にありがとうございました。
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