複素数平面と極形式 198

質問

複素数αが|α|=1をみたすとき、
|α-(1+i)|=|1-αバー(1+i)|
が成り立つことを示。ただし、αバーはαと共役な複素数を表す。

これを解いてください。
お願いします。

回答No.3

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

α の共役複素数を α' で表すことにする。
| α | = 1 より | α |^2 = 1 なので α α' = 1

| α - (1 + i) |^2 = { α - (1 + i) } { α' - (1 - i) }
= α α' - (1 - i) α - (1 + i) α' + (1 + i) (1 - i)
= 1 - (1 - i) α - (1 + i) α' + 2
= 3 - (1 - i) α - (1 + i) α'

| 1 - α' (1 + i) |^2 = { 1 - α' (1 + i) } { 1 - α (1 - i) }
= 1 - α (1 - i) - α' (1 + i) + α α' (1 + i) (1 - i)
= 1 - α (1 - i) - α' (1 + i) + 1 × 2
= 3 - (1 - i) α - (1 + i) α'

よって題意は示された。

お礼

詳しく書いてくださりありがとうございました。

回答No.2

tmppassenger

取り敢えず解くだけなら、|α| = 1を満たす複素数は実数θを用いて、α = cos(θ)+ i * sin(θ) （iは虚数単位）と表される。αの複素共役conj(α)をβと書くと、β = cos(θ) - i * sin(θ)。

これに対して、
|α-(1+i)|^2 = {α - (1+i)} {β - (1-i)}
|1-conj(α) * (1+i)|^2 = { 1- β (1+i) } { 1- α(1-i)}
の両方をひたすら計算して、両者が一致する事を示せば良い。

お礼

方針を示してくださりありがとうございました。

回答No.1

tmppassenger

色々考え方はあるが、幾何学的な意味を書いておく。
以下、αの複素共役を conj(α)で書く。
α = x+yi（iは虚数単位）とおいて、ガウス平面（複素数平面）とxy平面との関連を考える。αにxy平面の点(x,y)を対応させると：

|α-(1+i)| は (x,y)と(1,1) との距離と等しい、
又 |1-αバー(1+i)| = |1 - conj(α) * (1+i) | = |1- α * (1-i)| = |1-i| * | 1/(1-i) - α | = (√2) * |α - (i+1)/2|である故、これは(x,y)と(1/2, 1/2)の距離の√2倍と等しい。

つまり、xy平面で考えると、『P(1,1) とAとの距離が、Q(1/2, 1/2)とAとの距離の√2倍に等しい点A全体の軌跡』を考える事に相当する。これはいわゆる「アポロニウスの円」で、軌跡としては線分PQを(√2):1に内分、外分する点を直径の両端とする円全体となり、これは原点を中心とする半径1の円になる。

問題を逆から言った形になっているが、軌跡が円全体となっているから、逆も成立する。つまり、原点を中心とする半径1の円の上の点は、Pからの距離とQからの距離の比が(√2):1になり、問題の事が成立することが分かる。

お礼

難しい言葉で解説してくださりありがとうございました。