複素数平面と極形式 203

質問

z=cos(π/5)+isin(π/5)とするとき、次の問いに答えよ。
(1)(1+z)(1-z+z^2-z^3+z^4)とz+1/z-(z^2+1/z^2)の値を求めよ。
(2)w=z+1/zとおくとき、wの値を求めよ。
(3)cos(π/5)の値を求めよ。

この問題を解いてください。お願いします。

回答No.1

gamma1854 · ベストアンサー

z=e^(pi*i/5) ゆえ、z^5+1=0.
1) (1+z)(1-z+z^2-z^3+z^4)=1+z^5=0.
1-z+z^2-z^3+z^4=0 の両辺をz^2 でわり、
(z+1/z) - (z^2+1/z^2)=1...(*)
2) w=e^(pi*i/5)+e^(-pi*i/5)=2*cos(pi/5).
3) (*) より、
w - (w^2 - 2) = 1 ⇔ w=(1±sqrt(5))/2.
∴ cos(pi/5)=(1+sqrt(5))/4.

お礼

もっと詳しく解説してください。

お願いします。

ありがとうございました。