log(1-x)の積分

質問

logxの積分公式はxlogx-x+cですが、xの部分を1-xとする問題はこの公式を使うと答えが合いませんでした。
この公式は、xの部分がxの場合のみとか、またはxの係数が1の時のみに適用されるものなのですか？(私の予想なので間違っていたら教えてください。)
よろしくお願いいたします

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

＞logxの積分公式はxlogx-x+cですが……
これ（∫logxdx=xlogx-x+C）を公式として覚えているのですか?
部分積分の基本的な練習問題として典型的な計算なので，自分で導けるように（証明できるように）なって下さい。
さて，質問の件ですが
部分積分を使って（∫logxdx=xlogx-x+Cを証明するように）計算してもよろしいし，
1-x=t
と置いて，∫logxdx=xlogx-x+Cを公式として使ってもできますよ。

【部分積分を使う】
∫log(1-x)dx
=∫1*log(1-x)dx
=xlog(1-x)-∫x(-1/(1-x))dx
=xlog(1-x)-∫(-x/(1-x))dx
ここで
∫(-x/(1-x))dx
=∫((1-x)-1)/(1-x))dx
=∫(1-(1/(1-x))dx
=x+log(1-x)+C1　　（C1は積分定数）
ゆえに
∫log(1-x)dx
=∫1*log(1-x)dx
=xlog(1-x)-∫x(-1/(1-x))dx
=xlog(1-x)-∫(-x/(1-x))dx
=xlog(1-x)-(x+log(1-x)+C1)
=xlog(1-x)-x-log(1-x)-C1
=(x-1)log(1-x)-x+C　　（C=-C1）

【置換積分を使う】
1-x=t
とおくと，x=-t+1だから
(dx/dt)=-1
∫log(1-x)dx
=∫logt*(-1)dt
=-∫logtdt
=-(tlogt-t+C2)
=-tlogt+t-C2
=-(1-x)log(1-x)+(1-x)-C2
=(x-1)log(1-x)+1-x-C2
=(x-1)log(1-x)-x-C2+1
==(x-1)log(1-x)-x+C　　（C=-C2+1）

以上です。

補足
※そもそも公式として使おうという姿勢が弱点なのだと思います。「公式は証明されるためにある」くらいの気持ちで付き合いましょう。覚える前に使う前に，まず証明できるようになりましょう。
※入試問題は（特に難関校では），公式を使って答を出す問題など絶対に出題されません。公式を証明する手法を使う問題が出題されます。つまり受験勉強なら公式を証明できるようになることが必要です。

お礼

ありがとうございました。

回答No.2

asuncion

まさか
(1 - x)log(1 - x) - 1 + x + C
とかしてないですよね？それはダメですよ。