図形と方程式

質問

入試問題です。
どなたか丁寧な説明よろしくお願い致します。

回答No.1

上野 尚人（@uenotakato） · ベストアンサー

x - y - 1 = 0 …① (y = x - 1)
3x - y - 1 = 0 …② (y = 3x - 1)
x + y - 4√2 + 1 = 0 …③ (y = -x + 4√2 - 1)

この3本の直線を描くことで、三角形の内心は
直線①より上側、不等式でいうと「y > x - 1」すなわち x - y - 1 < 0 を満たす部分
直線②より下側、不等式でいうと「y < 3x - 1」すなわち 3x - y - 1 > 0 を満たす部分
直線③より下側、不等式でいうと「y < -x + 4√2 - 1」すなわち x + y - 4√2 + 1 < 0 を満たす部分
に存在することがわかる。

内心の座標を (X , Y) 、内接円の半径を r とする。点と直線の距離の式を用いる。
直線①について
| X - Y - 1 | / √2 = r
ここで、X - Y - 1 < 0 より
(-X + Y + 1) / √2 = r …①´

直線②について
| 3X - Y - 1 | / √10 = r
ここで、3X - Y - 1 > 0 より
(3X - Y - 1) / √10 = r …②´

直線③について
| X + Y - 4√2 + 1 | / √2 = r
ここで、X + Y - 4√2 + 1 < 0 より
(-X - Y + 4√2 - 1) / √2 = r …③´

①´ と③´ より
(-X + Y + 1) / √2 = (-X - Y + 4√2 - 1) / √2
-X + Y + 1 = -X - Y + 4√2 - 1
Y = 2√2 - 1
が得られる。この値を①’と②’に代入すると
(-X + 2√2) / √2 = r , (3X - 2√2) / √10 = r
(-X + 2√2) / √2 = (3X - 2√2) / √10
√5 (-X + 2√2) = 3X - 2√2
2√10 + 2√2 = (3+ √5) X
X = (2√10 + 2√2) / (3+ √5) = √10 - √2
が得られる。
X , Y の値を①‘に代入して
r = 3 - √5
が得られる。

解答の形に合わせるのが困難ですが
半径は 3 + (-1) √5
内心のx座標は √10 + (-1) √2
内心のy座標は (-1) + 2√2
と答えればよいのでしょう。

回答No.3

staratras

No.2の誤記の訂正です。
誤：B(0,1）　　正：B(0,-1)

回答No.2

staratras

問題に登場する三角形が直角三角形であることなどに気付けば、このような解法も可能です。（特別な場合なので、別におすすめはしませんが…）

直線に以下の番号をつけ、グラフ上で2と3の交点をA、1と2の交点をB。3と1の交点をCとする。

x-y=1…（１）、3x-y=1 …（２）、x+y=4√2-1　…（３）

2,3を連立させて解くと、A(√2,3√2-1）
1,2を連立させて解くと、B(0,1）
3,1を連立させて解くと、C(2√2,2√2-1）

ここで三角形ABCの各辺の長さを求めると
AB=2√5、BC=4、CA=2

ここで、1と3の直線は傾きの積が-1で直交するから、三角形ABCは∠BCA=90度の直角三角形となり面積はBC×CA/2=4

一方三角形ABCの内接円の半径をrとすると、
三角形の面積は(1/2)(AB+BC+CA)r=(3+√5)r

両者は等しいから(3+√5)r=4 ∴r=4/(3+√5)=4(3-√5)/4=3-√5

ここで三角形ABCの内接円の中心をOとし、内接円と辺CAとの接点をPとすると、
OP=PC=r である。また内心は∠BCA(直角)の2等分線上にあり、辺BCの座標平面上の傾きが１であるから、三角形POCは∠COP=∠OCP=45度の直角二等辺三角形。
∴ OCはx軸に平行で、OC=(√2)r
∴　Oのx座標=Cのx座標-OC=2√2-(√2)(3-√5)=√10-√2
　　Oのy座標=Cのy座標=2√2-1