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図形と方程式
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(1) C2の式の左辺をxについて平方完成、yについて平方完成して (x - 3r)^2 + (y - 4r)^2 = 9r^2 中心の座標は (3r , 4r) …アイ 半径は √(9r^2) = | 3r | であり、rは正なので 3r… ウ (2) C1の中心は原点O(0,0)、半径は2である。 C2の中心をA(3r , 4r) とする。 二つの円の中心間距離は OA = √{ (3r - 0)^2 + (4r - 0)^2 } = √(25r^2) = | 5r | であり、rは正なので OA = 5r である。 二つの円が接するのは 半径の差の絶対値がOAと等しい（内接） 半径の和がOAと等しい（外接） いずれかの場合である。 内接の場合は | 3r - 2 | = 5r を解いて r = 1/4 外接の場合は 3r + 2 = 5r を解いて r= 1 小さい順に答えて r = 1/4 , 1 …ウエ (3) 2 = 3r として r = 2/3 …オ この値は 1/4と1（先の設問で得られた二つの値）の間なので、二つの円は2個の交点P,Qをもつことがわかる。 このとき、二つの円の式は C1 : x^2 + y^2 - 4 = 0 C2 : x^2 - 4x + y^2 - (16/3)y + (64/9) = 0 となる。ここで、kを実数として k (x^2 + y^2 - 4) + { x^2 - 4x + y^2 - (16/3)y + (64/9) } = 0 …★ の方程式が表す図形は、kの値にかかわらず2点P,Qをつねに通る。 ★は、k=-1のときは直線を表し、k≠-1のときは円を表す。 ★にk=-1を代入して得られた式が直線PQの方程式である。その式は 4 - 4x - (16/3)y + (64/9) = 0 -(16/3) y = 4x - (100/9) y = -(3/4)x + (25/12) …カキ
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