図形と方程式

質問

図形と方程式の入試問題です。
どなたか丁寧な説明よろしくお願い致します。

回答No.1

kiha181-tubasa · ベストアンサー

『領域における最大最小』といわれる問題ですね。

（１）について
基本は領域を図示して，直線(傾きに注意。重要)を動かしてみてy軸との交点のy座標(y切片)を考えればよいのです。
-2x-y=kとおくと
y=-2x-k　……①
①は傾きが-2の直線で，y切片が-kです。「kが最小になるとき(-k)は最大になります。ですから「直線①のy切片が最大になる」ところを探して行けばよいことになります。

不等式の表す領域は，円x^2+y^2=4（原点を中心とする半径2の円）の周および内部と，直線y=-x+2の線上およびその上側との重なった部分(共通部分)になります。（図は描けないので省略）
直線①(傾き-2)がこの領域内を通過するときのy切片が最大になるのは，直線①が円x^2+y^2=4に接するときであることがわかります。だから，接するときのy切片を求めればよいのです。

方法は２つあります。いずれも答は２つ出てきます(∵傾き-2の円の接線は２本あるから)が，題意から判断して１つを選ぶことになります。

（方法１）接する⇒判別式　という考えかた
①を円の方程式に代入して整理すると
5x^2+4kx+k^2-4=0
この２次方程式が重解を持つ条件は判別式Dの値が0だから
D/4=4k^2-5(k^2-4)=0
k^2=20
k=±2√5
kの最小値は
k=-2√5

(方法２）接する⇒円の中心(0,0)と直線2x+y+k=0との距離が半径に等しい
|k|/√(2^2+1^2)=2
|k|/√5=2
|k|/=2√5
k=±2√5
kの最小値は
k=-2√5

（２）について
　領域と共有点を持たせつつ円の半径を変化させて調べます。
x^2+y^2-2x=mとおくと
(x-1)^2+y^2=m+1　……②
これは点(0,1)を中心とする半径√(m+1)の円を表す。
mが最大となるのは，円②が円x^2+y^2=4上の点(0,2)を通るときだから，この時
1^2+2^2=m+1
m+1=5
m=4
mが最小となるのは，円②が直線x+y=2に接するときで，この時は円②の半径は点(0,1)と直線x+y-2=0の距離が半径√(m+1)に等しい。ゆえに
|0+1-2|/√(1^2+1^2)=√(m+1)
1=√2(m+1)
2m+2=1
m=-1/2
以上の事から
-1/2≦m≦4

（じっくり図で作戦を考えることも重要です）