複素数

質問

次の条件をみたす複素数zを求めよ。
条件：複素数α(≠0)がα+1/α=zをみたすならば|α|=1である。

この問題をふつうに解こうとすると異様に計算が大変になってしまって、とても最後まで辿りつかないのですが、なにか妙手があるのでしょうか？
うまい方法をご存知でしたら教えてください。よろしくお願いします。

回答No.1

tmppassenger · ベストアンサー

α+(1/α) ですよね？Cを複素数体とします。

先ず zが何であっても、α+(1/α) = zを満たす複素数αは必ず存在する。というのも α^2 - zα + 1 は αの多項式としてC上必ず2根を持ち、かつその根は何れも0ではないからである。

α^2 - zα + 1 の2根 を x, y とすれば、xy=1であるから、|x| = 1なら |y| = 1である。逆に |x|≠1なら|y|≠1である。

従って、
○ 繰り返しになるが 任意の zに対して α + (1/α) = zを満たす αは存在する。そのαは、当然 |α| = 1を満たすか、 |α|≠ 1となるかのどちらかを必ず満たす。
○ |α| = 1なる α に対する α + (1/α) = zに対して、 w + (1/w) = zを満たす wは、必ず |w| = 1を満たす。何故なら w^2 - zw + 1 の2根は w, 1/wであるからである。
○ 又 |α|≠ 1なるα に対する α + (1/α) = zに対して、 w + (1/w) = zを満たす wは、必ず|w|≠1である。

従って、z = f(α) = α + (1/α) の |α| = 1の範囲における fの像を求めればよい。
|α| = 1ならα = exp(it) （tは実数）とおける。この時 z = 2cos(t)である。従って、求めるzは -2 ≦ z≦ 2なる任意の実数である。

お礼

ありがとうございました。
とてもよく理解できました。

回答No.2

muturajcp

zを任意の複素数とすると
z=x+iy
となる実数x,yがある
u=(x^2-y^2-4)/2
v=xy
(v≧0)の時(s_v)=1
(v<0)の時(s_v)=-1
w=(√{u+√(u^2+v^2)}+(s_v)i√{-u+√(u^2+v^2)})/2
α=w+z/2
とすると
u^2+v^2≧0だから√(u^2+v^2)は実数である
u^2+v^2≧u^2
√(u^2+v^2)≧|u|≧u→-u+√(u^2+v^2)≧0→√{-u+√(u^2+v^2)}は実数である
√(u^2+v^2)≧|u|≧-u→u+√(u^2+v^2)≧0→√{u+√(u^2+v^2)}は実数である

z^2-4
=(x+iy)^2-4
=x^2-y^2-4+2xyi
=2u+2vi

α-z/2=w
(α-z/2)^2=w^2

α^2-αz+z^2/4
=(α-z/2)^2
=w^2
=(√{u+√(u^2+v^2)}+(s_v)i√{-u+√(u^2+v^2)})^2/4
={u+√(u^2+v^2)-{-u+√(u^2+v^2)}+(s_v)2i√({u+√(u^2+v^2)}{-u+√(u^2+v^2)})}/4
=(2u+2vi)/4
=(z^2-4)/4

α^2-αz+z^2/4=(z^2-4)/4
α^2+1=αz
↓1≦α^2+1=αzだからα≠0で割ると
∴
α+1/α=z
∴
α+1/α=zをみたす複素数α(≠0)が存在する

このαに対して
r=|α|
θ=arg(α)
とすると
α=re^(iθ)
1/α=(1/r)e^(-iθ)
re^(iθ)+(1/r)e^(-iθ)=α+1/α=z
re^(iθ)+(1/r)e^(-iθ)=z
(r+1/r)cosθ+i(r-1/r)sinθ=z
zが
条件：「複素数α(≠0)がα+1/α=zをみたすならば|α|=1である」
を満たすためには
r=|α|=1
2cosθ=z
-1≦cosθ≦1だから
-2≦2cosθ≦2だから
∴
-2≦z≦2
となる事が必要となる

zが虚数ならば
(r-1/r)sinθ≠0だから
(r-1/r)≠0だから
|α|=r≠1だから
α≠0かつα+1/α=zかつ|α|≠1となるαが存在するから
zは
条件：「複素数α(≠0)がα+1/α=zをみたすならば|α|=1である」
を満たさない

z<-2またはz>2ならば
|z|=(r+1/r)|cosθ|>2
r+1/r>2/|cosθ|≧2
r+1/r>2
r^2+1>2r
r^2-2r+1>0
(r-1)^2>0
|α|=r≠1だから
α≠0かつα+1/α=zかつ|α|≠1となるαが存在するから
zは
条件：「複素数α(≠0)がα+1/α=zをみたすならば|α|=1である」
を満たさない

---------------------------
逆に
-2≦z≦2
ならば
-1≦z/2≦1
だから
z/2=cosθ
となる実数θがある
sinθ=±{√(4-z^2)}/2

α+1/α=z
を満たすαは
αの実数係数2次方程式
α^2-zα+1=0
の2つの解
α={z±i√(4-z^2)}/2
だけで
α=cosθ±isinθ
だから
|α|=1
だから
zは
条件：「複素数α(≠0)がα+1/α=zをみたすならば|α|=1である」
を満たす
---------------------
∴
-2≦z≦2

お礼

ありがとうございます。
よく分かりました。