複素数に関する問題です

質問

複素数α≠０に対してｚ＾２＝αとなる複素数ｚが２つだけ存在して、その一方がβならば、もう一方が－βであることを示せ。

という問題です。
ｚが、±ででてくることを証明すればいいのでしょうか？
ｚ＝±√αでは、だめなのでしょうか？

どう始めれば良いのかが分からず困っています。

ご回答宜しくお願いします。

回答No.3

麻野 なぎ（@AsanoNagi）

解決してしまった後なので、意味はないか？

・解がたかだか２つであること

異なる解が３個以上あると仮定する。
　このうち、任意の３個をa, b, c とする。
a^2 = b^2 = c^2 = αだから

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = 0
a^2 - c^2 = (a + c)(a - c) = 0
a, b, c は互いに異なるから、

a + b = a + c = 0
これは、b ≠ c に矛盾する。

　従って、解はたかだか２個しかない。

・解が存在すれば、２個以上あること

　a が z^2 = α の解であれば、-a も z^2 = α の解である。
　故に、0でない解が存在すれば最低２個は存在する。
　※これは、a が解なら、-a も解であることを主張するだけで、これだけでは、a と -a に限られる
　　ことまでは言及していない点に注意

以上より、解は（存在すれば）２個に限られる。

・２つの解は、a と -a であること。

　異なる解 a, b に対して、

a^2 - b^2 = (a + b)(a - b) = 0
∴ a + b = 0

と、ここまでで言えるのは、z^2 = α が存在すれば、それは２個あって、その一方がβならば、もう一方が－βということですね。
存在するのを直接証明するのは難しかった。

お礼

ご回答ありがとうございます。

自分の知らない解法、考え方、すごく有難いです。
参考にさせていただきます。m(_ _)m

回答No.2

alice_44

zの2乗 = α となる複素数 z の存在は、
「代数学の基本定理」によって保証されます。
この定理を知らなければ、教科書で探しましょう。
あとは、多項式 zの2乗-α を z-β で割れば、
もう一つの解が β を含んだ式で表されて、
全て解決です。

回答No.1

Tacosan

「ｚが、±ででてくることを証明すればいい」の前に, そもそも「ｚ＾２＝αとなる複素数ｚ」が存在することから示さないとだめですね. そして「1個でも 3個でも 4個以上でもなくちょうど 2個である」ということを示す. 「一方がβならば、もう一方が－β」は, まあおまけみたいなものです.

「ｚ＝±√α」は論外. そもそも「√α」なるものが定義されていないし, (定義されていても) 存在するかどうかは分かっていないし, (さらに存在しているとしても) 唯一であるとは限らないよね.

α = a + bi, z = x + yi (a, b, x, y は実数) とおいて, x と y に対する連立方程式に持ち込むのが普通でしょう.

お礼

連立方程式に持ち込む方法でなんとか解決しました。
本当に助かりました。
ありがとうございました。